Какова вероятность того, что первый игрок из четырех получит точно n пар туз и король одной масти при раздаче колоды

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание комбинаторики и правил вероятностей. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Определим общее количество возможных раздач колоды из 52 карт первому игроку. Мы знаем, что изначально в колоде 52 карты. Первый игрок должен получить n пар "туз и король одной масти", где n может быть 0, 1, 2 и т.д. Поскольку каждая пара состоит из 2 карт, нам нужно выбрать 2n карт из общего числа карт в колоде. Это можно сделать \(\binom{52}{2n}\) способами.

Шаг 2: Определим количество благоприятных исходов, когда первый игрок получает n пар "туз и король одной масти". Выборка таких пар карт может быть произведена следующим образом:
- Выбираем одну масть (например, пик), из которой игрок должен получить 2 карты.
- У нас есть 4 туза и 4 короля в каждой масти. Отсюда следует, что выбор 2 карт из 4 карт одного достоинства можно сделать \(\binom{4}{2}\) способами.
- Общее количество благоприятных исходов будет равно количеству способов выбрать масть из 4 и способов выбора пары карт из 4. Таким образом, количество благоприятных исходов будет \(\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{2}\).

Шаг 3: Вычислим вероятность, что первый игрок получит точно n пар "туз и король одной масти". Вероятность определяется отношением количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов. Таким образом, вероятность будет равна:
\[
P(n) = \frac{{\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{2}}}{{\binom{52}{2n}}}
\]
где \(n = 0, 1, 2\) и т.д.

Это подробное решение позволяет нам вычислить вероятность получения n пар "туз и король одной масти" первым игроком при раздаче колоды из 52 карт.