Какова вероятность того, что ни одна из 5000 новых лампочек не перегорит в первый день эксплуатации? Какова вероятность

Для решения этой задачи нам нужно знать вероятность перегорания одной лампочки и применить вероятностную модель. Предположим, что вероятность перегорания одной лампочки в первый день эксплуатации составляет \(p\).

1. Вероятность того, что ни одна из 5000 лампочек не перегорит в первый день эксплуатации:

Каждая лампочка имеет вероятность \(1-p\) не перегореть в первый день. Так как все лампочки работают независимо друг от друга, мы можем использовать понятие независимости событий. Вероятность того, что ни одна из лампочек не перегорит, равна произведению вероятностей ни одной лампочки не перегорит:

\[P(\text{"ни одна лампочка не перегорит"}) = (1-p)^{5000}\]

2. Вероятность того, что ровно две лампочки перегорят:

Здесь нам потребуется комбинаторика. Всего у нас есть 5000 лампочек, и нам нужно выбрать 2 лампочки, которые перегорят. Количество способов выбрать 2 лампочки из 5000 равно сочетанию \(C(5000, 2)\):

\[C(5000, 2) = \frac{5000!}{2!(5000-2)!}\]

Каждая пара лампочек имеет вероятность \(p^2\) перегореть, а остальные 5000-2 лампочки имеют вероятность \((1-p)^{5000-2}\) не перегореть. Так как выбор каждой пары лампочек является независимым, мы можем использовать понятие независимости событий. Вероятность того, что ровно две лампочки перегорят, равна произведению вероятности каждой пары лампочек перегореть и вероятности оставшихся лампочек не перегореть:

\[P(\text{"ровно две лампочки перегорят"}) = C(5000, 2) \cdot p^2 \cdot (1-p)^{5000-2}\]

Итак, мы получили вероятности для каждого случая. Теперь вы можете подставить значения и посчитать их. Не забудьте, что вероятность всегда находится в пределах от 0 до 1.