Какова вероятность того, что количество извлеченных черных шаров составит не менее 2 и не более 4 из 1000 урн, в каждой

Для решения этой задачи, мы можем использовать комбинаторику и формулу вероятности. Давайте пошагово изучим процесс решения этой задачи.

Шаг 1: Определение количества способов выбора черных шаров
В каждой урне, у нас есть общее количество черных и белых шаров, равное 5000. Мы должны извлечь 3 шара из каждой урны, без возвращения. Количество способов выбора черных шаров можно выразить, используя формулу сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
где \(n\) - общее количество объектов (шаров), а \(k\) - количество объектов, которые мы хотим выбрать (черные шары).

В нашем случае, \(n = 5000\), \(k = 3\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\(\binom{5000}{3} = \frac{5000!}{3!(5000-3)!}\)

Шаг 2: Определение общего количества способов выбора шаров из 1000 урн
Мы имеем 1000 урн, и из каждой урны мы выбираем 3 шара. Общее количество способов выбора можно выразить, используя формулу возведения в степень:

\(1000^3\)

Шаг 3: Определение количества благоприятных исходов
Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбора черных шаров, равное или больше 2 и меньше или равное 4 из каждой урны. Мы можем использовать комбинаторику для определения этого значения.

Если мы выбираем 2 черных шара, количество способов выбора можно рассчитать с использованием формулы сочетаний:

\(\binom{3}{2}\)
где \(n = 3\), \(k = 2\).

Если мы выбираем 3 черных шара, количество способов выбора можно рассчитать с использованием той же формулы сочетаний:

\(\binom{3}{3}\)
где \(n = 3\), \(k = 3\).

Далее, мы складываем количество способов выбора 2 черных шара, 3 черных шара и 4 черных шара, чтобы получить общее количество благоприятных исходов.

Шаг 4: Определение вероятности
Наконец, мы определяем вероятность того, что количество извлеченных черных шаров составит не менее 2 и не более 4 из 1000 урн. Вероятность можно определить, используя следующую формулу:

\(\frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}\)

Теперь, когда мы знаем все необходимые значения, мы можем рассчитать вероятность.

Пожалуйста, дайте мне минутку, чтобы провести все необходимые вычисления.