Какова вероятность того, что из четырех случайно выбранных галстуков все окажутся одного цвета, если в коробке лежат

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо вычислить вероятность того, что из четырех случайно выбранных галстуков все окажутся одного цвета. Для этого мы должны разделить количество комбинаций, при которых все галстуки одного цвета, на общее количество возможных комбинаций при выборе четырех галстуков из коробки.

У нас есть 30 галстуков в коробке, из которых 12 красных и 18 белых. Предположим, что мы выбираем четыре галстука. Существует два варианта:

1) Все четыре галстука красные.
2) Все четыре галстука белые.

Давайте рассмотрим первый вариант. Количество способов выбрать четыре красных галстука из 12 красных равно количеству комбинаций из 12 по 4:

\[\binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!}\]

Аналогично для второго варианта, количество способов выбрать четыре белых галстука из 18 белых равно количеству комбинаций из 18 по 4:

\[\binom{18}{4} = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4!14!}\]

Теперь мы можем вычислить общее количество возможных комбинаций при выборе четырех галстуков из 30:

\[\binom{30}{4} = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4!26!}\]

Итак, вероятность того, что все четыре галстука окажутся одного цвета, равна сумме вероятностей для каждого варианта:

\[P = \frac{\binom{12}{4} + \binom{18}{4}}{\binom{30}{4}}\]

Вычислим:

\[P = \frac{\frac{12!}{4!8!} + \frac{18!}{4!14!}}{\frac{30!}{4!26!}}\]

Упростим выражение, сократив факториалы:

\[P = \frac{\frac{12!}{4!(12-4)!} + \frac{18!}{4!(18-4)!}}{\frac{30!}{4!(30-4)!}}\]

\[P = \frac{\frac{12!}{4!8!} + \frac{18!}{4!14!}}{\frac{30!}{4!26!}}\]

\[P = \frac{\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[P = \frac{495}{20349} \approx 0.0243\]

Итак, вероятность того, что из четырех случайно выбранных галстуков все окажутся одного цвета, составляет примерно 0.0243 или около 2.43%.