Какова вероятность того, что из аквариума, содержащего 6 сазанов и 4 карпа, с использованием сачка выловятся 3 рыбы

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу для вычисления вероятности.

В данном случае нам известно, что аквариум содержит 6 сазанов и 4 карпа. Нас интересует вероятность выбора 3 рыб из аквариума, при условии, что среди них будет ровно 1 сазан и 2 карпа.

Для начала, давайте рассмотрим количество способов выбрать 3 рыбы из аквариума. Мы можем использовать формулу сочетания, которая выглядит следующим образом:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где n - общее количество объектов в выборке (рыб в аквариуме), а k - количество объектов, которые мы хотим выбрать (в данном случае 3 рыбы).

Таким образом, количество способов выбрать 3 рыбы из аквариума равно:

\[C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}\]

Теперь, давайте рассмотрим количество способов выбрать ровно 1 сазан и 2 карпа. Мы можем применить ту же формулу сочетания, но на этот раз n будет равно количеству сазанов (6) и k будет равно 1, так как мы хотим выбрать 1 сазан.

\[C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!}\]

Также мы можем применить эту формулу для вычисления количества способов выбрать 2 карпа из 4 карпов.

\[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!}\]

Таким образом, количество способов выбрать ровно 1 сазан и 2 карпа равно:

\[C_6^1 \cdot C_4^2 = \frac{6!}{1! \cdot 5!} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}\]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что из аквариума выберутся 3 рыбы, при условии, что среди них будет ровно 1 сазан и 2 карпа, мы должны разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Таким образом, искомая вероятность равна:

\[P = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^2}}{{C_{10}^3}}\]

Теперь, подставив значения, мы можем вычислить данную вероятность:

\[P = \frac{{\frac{6!}{1! \cdot 5!} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}}}{{\frac{10!}{3! \cdot 7!}}}\]

\[P = \frac{{6 \cdot \frac{4!}{1! \cdot 5!} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}}}{{\frac{10!}{3! \cdot 7!}}}\]

\[P = \frac{{6 \cdot \frac{4 \cdot 3!}{5!} \cdot \frac{4 \cdot 3!}{2! \cdot 2!}}}{{\frac{10!}{3! \cdot 7!}}}\]

После сокращения нескольких факториалов и упрощения, получаем:

\[P = \frac{{6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{10 \cdot 9 \cdot 8}}\]

\[P = \frac{{144}}{{720}}\]

\[P = \frac{{1}}{{5}}\]

Итак, вероятность того, что из аквариума, содержащего 6 сазанов и 4 карпа, с использованием сачка выловятся 3 рыбы и среди них будет ровно 1 сазан и 2 карпа, равна \(\frac{{1}}{{5}}\) или 0.2 (или 20%).