Какова вероятность того, что из 5 солдатиков, случайно посаженных Петей в машинку, окажется 3 солдатика из олова, если

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать понятие вероятности. Вероятность события можно выразить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Для начала определим общее число исходов, то есть число всех возможных вариантов, в которых 5 солдатиков могут быть посажены в машинку. В данном случае у Пети есть общее число солдатиков - 20. Количество способов выбрать 5 солдатиков из 20 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее число солдатиков, \(k\) - число солдатиков, которые Петя выбирает для посадки в машинку, и \(!\) обозначает факториал числа.

Давайте вычислим количество исходов, когда 5 солдатиков выбираются из общего числа солдатиков:

\[C(20, 5) = \frac{{20!}}{{5! \cdot (20-5)!}}\]

\[C(20, 5) = \frac{{20!}}{{5! \cdot 15!}}\]

\[C(20, 5) = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[C(20, 5) = 15,504\]

Таким образом, вариантов составить группу из 5 солдатиков из общего числа 20 равно 15,504.

Теперь нам нужно определить число благоприятных исходов, то есть комбинации, в которых ровно 3 солдатика из 5 будут оловянными. Это можно рассмотреть с помощью сочетаний.

У нас есть 10 оловянных солдатиков и 10 неоловянных солдатиков.

Таким образом, количество благоприятных исходов - это количество способов выбрать 3 оловянных солдатика из 10 (3 оловянных солдатика) и выбрать 2 неоловянных солдатика из 10 (2 неоловянных солдатика):

\[C(10, 3) \cdot C(10, 2)\]

Вычислим:

\[C(10, 3) \cdot C(10, 2) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10-3)!}} \cdot \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}}\]

\[C(10, 3) \cdot C(10, 2) = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}} \cdot \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}}\]

\[C(10, 3) \cdot C(10, 2) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}}\]

\[C(10, 3) \cdot C(10, 2) = 120 \cdot 45 = 5,400\]

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 5,400.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что из 5 солдатиков, случайно посаженных Петей в машинку, окажется 3 солдатика из олова, нам нужно разделить число благоприятных исходов на общее число исходов:

\[P = \frac{{\text{{Число благоприятных исходов}}}}{{\text{{Общее число исходов}}}} = \frac{{5,400}}{{15,504}}\]

Вычислив это, мы получим:

\[P \approx 0.348\]

Таким образом, вероятность того, что из 5 солдатиков, случайно посаженных Петей в машинку, окажется 3 солдатика из олова, примерно равна 0.348 или около 34.8%.