Какова вероятность того, что будет присвоен знак изделие высшего качества для: а) точно k изделий; б) более

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть n - количество изделий, p - вероятность того, что одно изделие будет отмечено как "изделие высшего качества".

а) Чтобы найти вероятность того, что будет присвоен знак "изделие высшего качества" для точно k изделий, мы можем использовать формулу биномиального распределения:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

В данном случае k равно точно, поэтому мы просто подставляем значение и рассчитываем вероятность. Давайте рассчитаем вероятности для k = 0, 1, 2, 3, ..., 9.

k = 0:
\[P(X = 0) = C_9^0 \cdot 0.2^0 \cdot (1 - 0.2)^9 = 1 \cdot 1 \cdot 0.8^9 \approx 0.134\]

k = 1:
\[P(X = 1) = C_9^1 \cdot 0.2^1 \cdot (1 - 0.2)^8 = 9 \cdot 0.2 \cdot 0.8^8 \approx 0.268\]

k = 2:
\[P(X = 2) = C_9^2 \cdot 0.2^2 \cdot (1 - 0.2)^7 = 36 \cdot 0.04 \cdot 0.8^7 \approx 0.302\]

k = 3:
\[P(X = 3) = C_9^3 \cdot 0.2^3 \cdot (1 - 0.2)^6 = 84 \cdot 0.008 \cdot 0.8^6 \approx 0.241\]

k = 4:
\[P(X = 4) = C_9^4 \cdot 0.2^4 \cdot (1 - 0.2)^5 = 126 \cdot 0.0016 \cdot 0.8^5 \approx 0.134\]

k = 5:
\[P(X = 5) = C_9^5 \cdot 0.2^5 \cdot (1 - 0.2)^4 = 126 \cdot 0.00032 \cdot 0.8^4 \approx 0.053\]

k = 6:
\[P(X = 6) = C_9^6 \cdot 0.2^6 \cdot (1 - 0.2)^3 = 84 \cdot 0.000064 \cdot 0.8^3 \approx 0.015\]

k = 7:
\[P(X = 7) = C_9^7 \cdot 0.2^7 \cdot (1 - 0.2)^2 = 36 \cdot 0.000128 \cdot 0.8^2 \approx 0.002\]

k = 8:
\[P(X = 8) = C_9^8 \cdot 0.2^8 \cdot (1 - 0.2)^1 = 9 \cdot 0.000256 \cdot 0.8^1 \approx 0.0001\]

k = 9:
\[P(X = 9) = C_9^9 \cdot 0.2^9 \cdot (1 - 0.2)^0 = 1 \cdot 0.000512 \cdot 0.8^0 \approx 0.00005\]

Таким образом, вероятность присвоения знака "изделие высшего качества" для каждого значения k равна:
\[P(X = 0) \approx 0.134, P(X = 1) \approx 0.268, P(X = 2) \approx 0.302, P(X = 3) \approx 0.241, P(X = 4) \approx 0.134, P(X = 5) \approx 0.053, P(X = 6) \approx 0.015, P(X = 7) \approx 0.002, P(X = 8) \approx 0.0001, P(X = 9) \approx 0.00005\]

б) Чтобы найти вероятность того, что будет присвоен знак "изделие высшего качества" для более чем m изделий, мы можем взять сумму вероятностей для m + 1, m + 2, ..., n значений k. Давайте рассчитаем вероятность для m = 0, 1, ..., 9.

m = 0:
\[P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 9) \approx 0.134 + 0.268 + 0.302 + 0.241 + 0.134 + 0.053 + 0.015 + 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 1\]

m = 1:
\[P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... + P(X = 9) \approx 0.302 + 0.241 + 0.134 + 0.053 + 0.015 + 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 0.982\]

m = 2:
\[P(X > 2) = P(X = 3) + ... + P(X = 9) \approx 0.241 + 0.134 + 0.053 + 0.015 + 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 0.54\]

m = 3:
\[P(X > 3) = P(X = 4) + ... + P(X = 9) \approx 0.134 + 0.053 + 0.015 + 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 0.299\]

m = 4:
\[P(X > 4) = P(X = 5) + ... + P(X = 9) \approx 0.053 + 0.015 + 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 0.121\]

m = 5:
\[P(X > 5) = P(X = 6) + ... + P(X = 9) \approx 0.015 + 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 0.017\]

m = 6:
\[P(X > 6) = P(X = 7) + ... + P(X = 9) \approx 0.002 + 0.0001 + 0.00005 \approx 0.0022\]

m = 7:
\[P(X > 7) = P(X = 8) + P(X = 9) \approx 0.0001 + 0.00005 \approx 0.00015\]

m = 8:
\[P(X > 8) = P(X = 9) \approx 0.00005\]

m = 9:
\[P(X > 9) = 0\]

Таким образом, вероятность присвоения знака "изделие высшего качества" для каждого значения m равна:
\[P(X > 0) \approx 1, P(X > 1) \approx 0.982, P(X > 2) \approx 0.54, P(X > 3) \approx 0.299, P(X > 4) \approx 0.121, P(X > 5) \approx 0.017, P(X > 6) \approx 0.0022, P(X > 7) \approx 0.00015, P(X > 8) \approx 0.00005, P(X > 9) = 0\]

в) Чтобы найти вероятность по крайней мере одного изделия, получившего знак высшего качества, мы можем взять 1 и вычесть вероятность, что все изделия не получат знак высшего качества:
\[P(\text{по крайней мере одно изделие}) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0.134 \approx 0.866\]

г) Чтобы найти наиболее вероятное количество изделий, получивших знак высшего качества, мы можем использовать формулу для нахождения математического ожидания биномиального распределения:
\[\text{Математическое ожидание} = n \cdot p\]

В данном случае, мы можем умножить n = 9 на p = 0.2, чтобы найти наиболее вероятное количество изделий:
\[\text{Математическое ожидание} = 9 \cdot 0.2 = 1.8\]

Таким образом, наиболее вероятное количество изделий, получивших знак высшего качества, равно 1.8, что можно округлить до 2. Вероятность получить именно 2 изделия можно вычислить, используя формулу биномиального распределения:
\[P(X = 2) = C_9^2 \cdot 0.2^2 \cdot (1 - 0.2)^7 = 36 \cdot 0.04 \cdot 0.8^7 \approx 0.302\]

Таким образом, вероятность получить ровно 2 изделия с высоким качеством составляет около 0,302.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решать задачу.