Какова вероятность того, что будет присвоен знак изделие высшего качества для: а) точно k изделий; б) более

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть n - количество изделий, p - вероятность того, что одно изделие будет отмечено как "изделие высшего качества".

а) Чтобы найти вероятность того, что будет присвоен знак "изделие высшего качества" для точно k изделий, мы можем использовать формулу биномиального распределения:
$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

В данном случае k равно точно, поэтому мы просто подставляем значение и рассчитываем вероятность. Давайте рассчитаем вероятности для k = 0, 1, 2, 3, ..., 9.

k = 0:
$$P(X=0)=C_9^0\cdot {0.2}^0\cdot (1-0.2{)}^9=1\cdot 1\cdot {0.8}^9\approx 0.134$$

k = 1:
$$P(X=1)=C_9^1\cdot {0.2}^1\cdot (1-0.2{)}^8=9\cdot 0.2\cdot {0.8}^8\approx 0.268$$

k = 2:
$$P(X=2)=C_9^2\cdot {0.2}^2\cdot (1-0.2{)}^7=36\cdot 0.04\cdot {0.8}^7\approx 0.302$$

k = 3:
$$P(X=3)=C_9^3\cdot {0.2}^3\cdot (1-0.2{)}^6=84\cdot 0.008\cdot {0.8}^6\approx 0.241$$

k = 4:
$$P(X=4)=C_9^4\cdot {0.2}^4\cdot (1-0.2{)}^5=126\cdot 0.0016\cdot {0.8}^5\approx 0.134$$

k = 5:
$$P(X=5)=C_9^5\cdot {0.2}^5\cdot (1-0.2{)}^4=126\cdot 0.00032\cdot {0.8}^4\approx 0.053$$

k = 6:
$$P(X=6)=C_9^6\cdot {0.2}^6\cdot (1-0.2{)}^3=84\cdot 0.000064\cdot {0.8}^3\approx 0.015$$

k = 7:
$$P(X=7)=C_9^7\cdot {0.2}^7\cdot (1-0.2{)}^2=36\cdot 0.000128\cdot {0.8}^2\approx 0.002$$

k = 8:
$$P(X=8)=C_9^8\cdot {0.2}^8\cdot (1-0.2{)}^1=9\cdot 0.000256\cdot {0.8}^1\approx 0.0001$$

k = 9:
$$P(X=9)=C_9^9\cdot {0.2}^9\cdot (1-0.2{)}^0=1\cdot 0.000512\cdot {0.8}^0\approx 0.00005$$

Таким образом, вероятность присвоения знака "изделие высшего качества" для каждого значения k равна:
$$P(X=0)\approx 0.134,P(X=1)\approx 0.268,P(X=2)\approx 0.302,P(X=3)\approx 0.241,P(X=4)\approx 0.134,P(X=5)\approx 0.053,P(X=6)\approx 0.015,P(X=7)\approx 0.002,P(X=8)\approx 0.0001,P(X=9)\approx 0.00005$$

б) Чтобы найти вероятность того, что будет присвоен знак "изделие высшего качества" для более чем m изделий, мы можем взять сумму вероятностей для m + 1, m + 2, ..., n значений k. Давайте рассчитаем вероятность для m = 0, 1, ..., 9.

m = 0:
$$P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)\approx 0.134+0.268+0.302+0.241+0.134+0.053+0.015+0.002+0.0001+0.00005\approx 1$$

m = 1:
$$P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=9)\approx 0.302+0.241+0.134+0.053+0.015+0.002+0.0001+0.00005\approx 0.982$$

m = 2:
$$P(X>2)=P(X=3)+...+P(X=9)\approx 0.241+0.134+0.053+0.015+0.002+0.0001+0.00005\approx 0.54$$

m = 3:
$$P(X>3)=P(X=4)+...+P(X=9)\approx 0.134+0.053+0.015+0.002+0.0001+0.00005\approx 0.299$$

m = 4:
$$P(X>4)=P(X=5)+...+P(X=9)\approx 0.053+0.015+0.002+0.0001+0.00005\approx 0.121$$

m = 5:
$$P(X>5)=P(X=6)+...+P(X=9)\approx 0.015+0.002+0.0001+0.00005\approx 0.017$$

m = 6:
$$P(X>6)=P(X=7)+...+P(X=9)\approx 0.002+0.0001+0.00005\approx 0.0022$$

m = 7:
$$P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)\approx 0.0001+0.00005\approx 0.00015$$

m = 8:
$$P(X>8)=P(X=9)\approx 0.00005$$

m = 9:
$$P(X>9)=0$$

Таким образом, вероятность присвоения знака "изделие высшего качества" для каждого значения m равна:
$$P(X>0)\approx 1,P(X>1)\approx 0.982,P(X>2)\approx 0.54,P(X>3)\approx 0.299,P(X>4)\approx 0.121,P(X>5)\approx 0.017,P(X>6)\approx 0.0022,P(X>7)\approx 0.00015,P(X>8)\approx 0.00005,P(X>9)=0$$

в) Чтобы найти вероятность по крайней мере одного изделия, получившего знак высшего качества, мы можем взять 1 и вычесть вероятность, что все изделия не получат знак высшего качества:
$$P(\text{по крайней мере одно изделие})=1-P(X=0)\approx 1-0.134\approx 0.866$$

г) Чтобы найти наиболее вероятное количество изделий, получивших знак высшего качества, мы можем использовать формулу для нахождения математического ожидания биномиального распределения:
$$\text{Математическое ожидание}=n\cdot p$$

В данном случае, мы можем умножить n = 9 на p = 0.2, чтобы найти наиболее вероятное количество изделий:
$$\text{Математическое ожидание}=9\cdot 0.2=1.8$$

Таким образом, наиболее вероятное количество изделий, получивших знак высшего качества, равно 1.8, что можно округлить до 2. Вероятность получить именно 2 изделия можно вычислить, используя формулу биномиального распределения:
$$P(X=2)=C_9^2\cdot {0.2}^2\cdot (1-0.2{)}^7=36\cdot 0.04\cdot {0.8}^7\approx 0.302$$

Таким образом, вероятность получить ровно 2 изделия с высоким качеством составляет около 0,302.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решать задачу.