Какова вероятность, что все три взятые наудачу детали являются деталями III сорта из 20 имеющихся деталей

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить вероятность выбора трех деталей III сорта из общего числа имеющихся деталей.

Для начала, найдем общее число возможных комбинаций выбора трех деталей из 20. Для этого воспользуемся формулой числа сочетаний:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(C(n,k)\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(n!\) - факториал числа \(n\), \(k!\) - факториал числа \(k\).

В нашем случае, \(n = 20\) (количество имеющихся деталей) и \(k = 3\) (количество выбираемых деталей). Подставляем значения в формулу:

\[
C(20,3) = \frac{{20!}}{{3! \cdot (20-3)!}} = \frac{{20!}}{{3! \cdot 17!}}
\]

Теперь, чтобы найти число успешных комбинаций (когда все три детали являются деталями III сорта), у нас есть 4 детали III сорта из которых нужно выбрать 3 (поскольку все три детали должны быть из этой категории).

Используем формулу числа сочетаний для этого:

\[
C(4,3) = \frac{{4!}}{{3! \cdot (4-3)!}} = \frac{{4!}}{{3! \cdot 1!}}
\]

Таким образом, вероятность выбора трех деталей III сорта из общего числа имеющихся деталей будет равна отношению числа успешных комбинаций к общему числу комбинаций:

\[
P = \frac{{C(4,3)}}{{C(20,3)}}
\]

Подставляем значения:

\[
P = \frac{{\frac{{4!}}{{3! \cdot 1!}}}}{{\frac{{20!}}{{3! \cdot 17!}}}} = \frac{{4}}{{\frac{{20!}}{{17!}}}} = \frac{{4}}{{\frac{{20!}}{{(20-3)!}}}} = \frac{{4}}{{\frac{{20!}}{{17!}}}}
\]

Упрощаем выражение:

\[
P = \frac{{4 \cdot 17!}}{{20!}}
\]

Используя калькулятор, мы можем вычислить точное значение этого выражения:

\[
P \approx 0.0076
\]

Таким образом, вероятность того, что все три взятые наудачу детали являются деталями III сорта, составляет около 0.0076 или примерно \(0.76\%\).