Какова вероятность, что среди двух выбранных бокалов, хотя бы один будет содержать полусладкое шампанское

Для решения этой задачи нам понадобится применить комбинаторику и правило сложения вероятностей.

Всего у нас имеется 20 бокалов, из которых 8 содержат сухое шампанское. Задача заключается в том, чтобы определить вероятность того, что хотя бы один из двух выбранных бокалов будет содержать полусладкое шампанское.

Для начала, посчитаем количество способов выбрать 2 бокала из 20 бокалов. Это можно сделать с помощью сочетаний без повторений. Обозначим это число как \(C_{20}^2\). Оно равно:

\[
C_{20}^2 = \frac{{20!}}{{2!(20-2)!}} = \frac{{20!}}{{2!18!}} = \frac{{20 \cdot 19}}{{2 \cdot 1}} = 190
\]

Теперь посчитаем количество способов выбрать 2 бокала таким образом, чтобы оба были сухими. Это можно сделать с помощью сочетаний без повторений из 8 бокалов:

\[
C_8^2 = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2!6!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} = 28
\]

Так как мы хотим найти вероятность хотя бы одного бокала с полусладким шампанским, нам нужно вычислить вероятность сочетания "один из двух бокалов с полусладким шампанским + оба бокала с полусладким шампанским".

Вероятность первого случая: \(P(\text{{один бокал с полусладким шампанским}})\). Это можно посчитать так:

\[
P(\text{{один бокал с полусладким шампанским}}) = \frac{{\text{{количество способов выбрать один бокал с полусладким шампанским}}}}{{\text{{общее количество способов выбрать 2 бокала}}}} = \frac{{C_{12}^1 \cdot C_8^1}}{{C_{20}^2}}
\]

где \(C_{12}^1\) - количество способов выбрать один бокал с полусладким шампанским из 12 таких бокалов.

Аналогично, вероятность второго случая: \(P(\text{{оба бокала с полусладким шампанским}})\) равна:

\[
P(\text{{оба бокала с полусладким шампанским}}) = \frac{{\text{{количество способов выбрать два бокала с полусладким шампанским}}}}{{\text{{общее количество способов выбрать 2 бокала}}}} = \frac{{C_8^2}}{{C_{20}^2}}
\]

Тогда общая вероятность будет равна сумме вероятностей этих двух случаев:

\[
P(\text{{хотя бы один бокал содержит полусладкое шампанское}}) = P(\text{{один бокал с полусладким шампанским}}) + P(\text{{оба бокала с полусладким шампанским}})
\]

Теперь осталось только подставить значения и выполнить вычисления:

\[
P(\text{{хотя бы один бокал содержит полусладкое шампанское}}) = \frac{{C_{12}^1 \cdot C_8^1}}{{C_{20}^2}} + \frac{{C_8^2}}{{C_{20}^2}}
\]