Какова вероятность, что ошибка доли студентов, работающих в течение учебного года в дневном отделении данного вуза

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться Центральной предельной теоремой (ЦПТ).

Суть ЦПТ состоит в том, что если взять много случайных выборок из генеральной совокупности и посчитать среднее значение в каждой выборке, то распределение этих средних будет приближаться к нормальному распределению.

В данной задаче мы имеем долю студентов, совмещающих работу и учебу, равную 30%. Значит, вероятность того, что ошибка доли студентов не будет больше значения, определенного на основе выборки, можно рассчитать с помощью нормального распределения.

Для использования нормального распределения, нам необходимо найти среднее значение (ожидаемую долю студентов, совмещающих работу и учебу) и стандартное отклонение (корень из произведения вероятности успеха и вероятности неудачи в каждой выборке).

Среднее значение (математическое ожидание) можно найти как произведение доли студентов, совмещающих работу и учебу в случайной выборке на количество студентов в выборке:
\[среднее значение = доля \times количество = 0.30 \times 150 = 45\]

Стандартное отклонение можно найти по следующей формуле:
\[стандартное отклонение = \sqrt{доля \times (1 - доля) \times размер выборки} = \sqrt{0.30 \times (1-0.30) \times 150} \approx 6.18\]

Используя среднее значение и стандартное отклонение, мы можем рассчитать значение z-оценки (количество стандартных отклонений, на которое отклоняется конкретное значение от среднего значения):
\[z-оценка = \frac{значение - среднее значение}{стандартное отклонение}\]

Поскольку мы ищем вероятность того, что ошибка доли студентов не будет больше значения, полученного на основе выборки, нам необходимо посчитать площадь правее этой z-оценки в нормальном распределении.

Итак, у нас есть все необходимые данные, чтобы рассчитать вероятность ошибки доли студентов:

\[значение = среднее значение = 45\]
\[z-оценка = \frac{значение - среднее значение}{стандартное отклонение} = \frac{45 - 45}{6.18} = 0\]

Нам нужно найти площадь правее z-оценки равной нулю в нормальном распределении, для этого мы можем воспользоваться таблицами значений стандартного нормального распределения или использовать калькулятор соответствующей функции распределения. Примерный результат можно получить из таблицы значения распределения стандартной нормальной функции или калькулятора как \(0.5\).

Таким образом, вероятность того, что ошибка доли студентов, работающих в течение учебного года в дневном отделении данного вуза, не будет больше того значения, которое было определено на основе случайной бесповторной выборки, составляет около \(0.5\) или \(50\%\).