Какова вероятность, что машина проедет определенное количество светофоров, прежде чем остановится? И каково среднее

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать две вещи: среднее количество светофоров, прежде чем машина остановится, и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

Допустим, что вероятность остановиться на определенном светофоре равна \(p\), а вероятность продолжить движение до следующего светофора равна \((1-p)\), где \(0 \leq p \leq 1\). Поскольку вероятности светофоров независимы друг от друга, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности проезда определенного количества светофоров.

Формула для вероятности проезда \(k\) светофоров при определенной вероятности остановиться \(p\) и продолжить движение \((1-p)\) имеет вид:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(n\) - это общее количество светофоров на пути машины. Функция \(C(n, k)\) обозначает количество сочетаний из \(n\) по \(k\) и может быть рассчитана следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]

Чтобы найти среднее количество светофоров, прежде чем машина остановится, мы можем использовать следующую формулу:

\[E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k)\]

А чтобы найти среднеквадратическое отклонение, мы можем использовать следующую формулу:

\[\sigma(X) = \sqrt{E(X^2) - (E(X))^2}\]

Теперь, когда у нас есть все формулы, давайте рассчитаем это для конкретной ситуации. Предположим, что на пути машины есть 10 светофоров, и вероятность остановиться на каждом из них составляет 0,2. Тогда:

\[P(X=k) = C(10, k) \cdot 0,2^{k} \cdot 0,8^{10-k}\]

Теперь воспользуемся этими формулами для рассчета среднего количества светофоров и среднеквадратического отклонения.