Какова вероятность, что король Артур и рыцарь Ланселот не будут сидеть рядом за круглым столом, на котором случайным

Для решения задачи, сперва посчитаем все возможные варианты размещения рыцарей за столом. В данном случае имеется 13 рыцарей, включая короля. Если бы они сидели по очереди, как на линейном столе, то возможных вариантов размещения было бы 13!. Однако, поскольку стол круглый и порядок размещения рыцарей не имеет значения, нужно поделить это количество на 13 (так как перестановка всех рыцарей может быть повернута на любой угол на круглом столе без изменения самого размещения).

Таким образом, количество всех возможных вариантов размещения рыцарей за круглым столом равно \(\frac{{13!}}{{13}}\).

Теперь рассмотрим случай, когда король Артур и рыцарь Ланселот не сидят рядом. Если фиксировать место короля Артура, то количество способов разместить рыцарей будет равно \((13-1)!\), так как из общего количества рыцарей мы исключаем самого короля Артура. Так как стол круглый, то мы можем предположить, что она сидит на каком-то конкретном месте, а Ланселот - на другом. Количество мест, на которых они могут находиться, равно 13 (так же, как и количество рыцарей). Поэтому общее количество вариантов, когда король Артур и рыцарь Ланселот не сидят рядом, равно \((13-1) \times 13 = 12 \times 13\).

Таким образом, вероятность того, что король Артур и рыцарь Ланселот не будут сидеть рядом за круглым столом, равна
\[\frac{{\text{{количество вариантов, когда они не сидят рядом}}}}{{\text{{общее количество вариантов}}}} = \frac{{12 \times 13}}{{\frac{{13!}}{{13}}}}.\]

Теперь произведем вычисления:
\[\frac{{12 \times 13}}{{\frac{{13!}}{{13}}}} = \frac{{12 \times 13 \times 13}}{{12!}}.\]

Здесь можно заметить, что многие члены сокращаются, и остается:
\[\frac{{13}}{{12}} = \frac{{13}}{{12}}.\]

Таким образом, вероятность того, что король Артур и рыцарь Ланселот не будут сидеть рядом за круглым столом, равна \(\frac{{13}}{{12}}\).