Какова вероятность, что каждый из четырех комбайнов будет работать без поломок в определенный промежуток времени?

Хорошо, давайте разберемся с вашей задачей.

Пусть $X$ - случайная величина, представляющая количество комбайнов, которые работали без поломок в определенный промежуток времени. Допустим, что вероятность работы каждого комбайна без поломок равна $p$, а вероятность поломки равна $q=1-p$. Поскольку каждый комбайн работает независимо от других, мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятностей, которые вы ищете.

Закон распределения случайной величины $X$ можно записать следующим образом:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{(n-k)}$$

Где $n$ - общее количество комбайнов (в вашем случае 4), а $k$ - количество комбайнов, работающих без поломок.

На графике вероятностей распределения мы можем отображать значения $k$ по оси x и соответствующие вероятности $P(X=k)$ по оси y.

Теперь рассчитаем каждый из требуемых статистических показателей.

1. Математическое ожидание (среднее) случайной величины $X$ можно найти как:

$$\mu =E(X)=np$$

В данной задаче $n=4$, поэтому

$$\mu =4p$$

2. Дисперсия случайной величины $X$ определяется как:

$${\sigma }^2=Var(X)=npq$$

В данном случае $n=4$, $p$ и $q$ как ранее, поэтому

$${\sigma }^2=4pq$$

3. Среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$ равно корню из дисперсии:

$$\sigma =\sqrt{Var(X)}=\sqrt{4pq}$$

Теперь мы можем приступить к построению графика и численным вычислениям для заданных вероятностей, математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Позвольте мне расчитать все эти значения.