Какова величина зарядов шариков, если сила гравитации между ними, равная массе 1 г, уравновешена электрической силой

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы электростатики и закон всемирного тяготения. Первым делом, обратимся к закону всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения утверждает, что сила притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\[F_{\text{тяг}} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

где \(F_{\text{тяг}}\) - сила притяжения,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67 \times 10^{-11}\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)),
\(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов,
\(r\) - расстояние между объектами.

Теперь, рассмотрим закон Кулона, который описывает силу электрического взаимодействия между заряженными объектами:

\[F_{\text{эл}} = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]

где \(F_{\text{эл}}\) - сила электрического взаимодействия,
\(k\) - электростатическая постоянная (\(8.99 \times 10^9\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)),
\(q_1\) и \(q_2\) - заряды объектов (шариков),
\(r\) - расстояние между объектами.

Условие задачи говорит, что сила гравитации между шариками равна силе отталкивания, поэтому:

\[F_{\text{тяг}} = F_{\text{эл}}\]

\[G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]

Теперь, мы можем сократить \(r^2\) с обеих сторон и получить:

\[G \cdot m_1 \cdot m_2 = k \cdot q_1 \cdot q_2\]

Далее, нам необходимо учесть единицы измерения. Массу измеряем в килограммах \(\text{кг}\), а силу в ньютонах \(\text{Н}\). Заряд измеряем в кулонах \(\text{Кл}\). Для перехода от гравитационной силы к электрической, нужно вспомнить, что одна кулон-секунда равна одному амперу. Переходя к измерениям:

\[\text{Н} = \text{кг} \cdot \text{м}/\text{с}^2 \quad \Rightarrow \quad \text{м} = \text{кг} \cdot \text{м}/\text{Н} \quad \Rightarrow \quad \text{м} = \text{Кл}^2/(\text{кг} \cdot \text{м}/\text{с}^2)\]
\[G = 6.67 \x 10^{-11}\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \quad \Rightarrow \quad G = 6.67 \x 10^{-11}\, \text{Кл}^2/(\text{кг}^2 \cdot \text{м}/\text{с}^2)\]

\[k = 8.99\x 10^9\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \quad \Rightarrow \quad k = 8.99\x 10^9\, \text{Кл}^2/(\text{Н} \cdot \text{м}^2)\]
\[q_1, q_2 = \text{Кл}\]

Подставляя все значения, получаем:

\[\text{Кл}^2/(\text{кг} \cdot \text{м}/\text{с}^2) \cdot \text{кг} \cdot \text{м} = \text{Кл}^2/(\text{Н} \cdot \text{м}^2) \cdot \text{Кл}^2\]

\[\text{Кл} \cdot \text{с}^2/\text{м} = \text{Н} \cdot \text{м}\]

Теперь, делим обе стороны на \(\text{с}^2/\text{м}\):

\[\text{Кл} = \text{Н} \cdot \text{м} \cdot \text{с}^2/\text{м}^2\]

Видим, что слева у нас Кл (кулоны) - единицы заряда, справа - момент силы. Пишу это для понимания, что наши физические величины соответствуют друг другу и сбрасываем это далее:

\[q_1 \cdot q_2 = m_1 \cdot m_2 \cdot \frac{k}{G}\]

\[q_1 \cdot q_2 = 1\, \text{г}\, \cdot 1\, \text{г}\, \cdot \frac{8.99\x 10^9\, \text{Кл}^2/(\text{Н} \cdot \text{м}^2)}{6.67\x 10^{-11}\, \text{Кл}^2/(\text{кг}^2 \cdot \text{м}/\text{с}^2)}\]

Сокращаем Кл и м^2 в числителе и знаменателе:

\[q_1 \cdot q_2 = 1\, \text{г}\, \cdot 1\, \text{г}\, \cdot \frac{8.99\x 10^9\, \text{Н} \cdot \text{с}^2}{6.67\x 10^{-11}\, \text{кг}^2 \cdot \text{м}}\]

Умножаем массы шариков и подставляем числовые значения:

\[q_1 \cdot q_2 = 1\x 10^{-3}\, \text{кг}^2 \cdot \frac{8.99\x 10^9\, \text{Н} \cdot \text{м} \cdot \text{с}^2}{6.67\x 10^{-11}\, \text{кг}^2 \cdot \text{м}}\]

Теперь, сокращаем килограммы и метры:

\[q_1 \cdot q_2 = 1\x 10^{-3} \cdot \frac{8.99\x 10^9\x \text{с}^2}{6.67\x 10^{-11}}\]

Выполняем простые алгебраические операции:

\[q_1 \cdot q_2 = 1.349\x 10^{20} \, \text{Кл}^2/\text{м}\]

Таким образом, мы получили, что произведение зарядов шариков равно \(1.349\x 10^{20}\, \text{Кл}^2/\text{м}\). Чтобы найти величину зарядов (\(q_1\) и \(q_2\)), необходимо взять квадратный корень из этого значения:

\[q_1 = q_2 = \sqrt{1.349\x 10^{20}}\]

\[q_1 = q_2 \approx 3.672\x 10^{10}\, \text{Кл}\]

Итак, величина зарядов шариков равна примерно \(3.672\x 10^{10}\, \text{Кл}\).