Какова величина заряда на участке провода длиной 1 метр у поверхности бесконечно длинного цилиндрического проводника

Хорошо, давайте решим задачу. Нам дано, что у нас есть бесконечно длинный цилиндрический проводник с радиусом $r=1$ сантиметр (0.01 метра) и электрическим полем $E=10$ Н/Кл.

Для начала, нам нужно найти заряд, находящийся на участке провода длиной 1 метр.

Формула, связывающая электрическое поле, напряженность электрического поля и заряд, гласит:

$$E=\frac{F}{q}$$

где $F$ - сила, действующая на заряд $q$.

Мы знаем, что напряженность электрического поля $E=10$ Н/Кл, тогда сила $F$ можно выразить следующим образом:

$$F=Eq$$

Так как у нас бесконечно длинный цилиндрический проводник, электрическое поле будет радиально направленным и однородным. Сила, действующая на заряд на участке провода, будет равна силе Кулона, которая определяется как:

$$F=\frac{k\cdot q\cdot Q}{r^2}$$

где $k$ - постоянная Кулона ($9\cdot {10}^9$ Н·м${}^2$/Кл${}^2$), $Q$ - заряд, создающий электрическое поле, $r$ - расстояние от заряда $Q$ до заряда $q$.

Однако, у нас есть бесконечно длинный проводник, и заряды равномерно распределены по поверхности проводника. Это значит, что мы можем считать участок провода как малый элемент, имеющий заряд $dq$.

Тогда, сила Кулона, действующая на заряд $dq$, можно выразить следующим образом:

$$dF=\frac{k\cdot q\cdot dq}{r^2}$$

Чтобы найти заряд на участке провода длиной 1 метр, мы должны проинтегрировать это выражение по всей длине провода.

$$F=\int dF=\underset{0}{\overset{q}{\int }}\frac{k\cdot q\cdot dq}{r^2}$$

Определенный интеграл заключает в себе интегрирование выражения и вычисление значения при конечных пределах.

$$F={\frac{k\cdot q^2}{2\cdot r^2}|}_0^q$$

Вычислим значение:

$$F=\frac{k\cdot q^2}{2\cdot r^2}-\frac{k\cdot 0^2}{2\cdot r^2}$$

Так как заряд отсутствует при $q=0$, мы получаем:

$$F=\frac{k\cdot q^2}{2\cdot r^2}$$

Теперь нам нужно найти заряд $q$. Мы знаем, что у нас есть электрическое поле $E=10$ Н/Кл. Мы можем использовать формулу связи между силой $F$ и электрическим полем $E$, чтобы выразить заряд $q$:

$$E=\frac{F}{q}$$

$$q=\frac{F}{E}$$

Подставим значение силы $F$, которую мы получили ранее:

$$q=\frac{k\cdot q^2}{2\cdot r^2\cdot E}$$

Теперь решим эту квадратное уравнение относительно $q$:

$$q^2-\frac{2\cdot r^2\cdot E}{k}\cdot q=0$$

$$q^2-\frac{2\cdot (0.01{)}^2\cdot 10}{9\cdot {10}^9}\cdot q=0$$

$$q^2-\frac{2\cdot 0.0001\cdot 10}{9\cdot {10}^9}\cdot q=0$$

$$q^2-\frac{2\cdot {10}^{-3}}{9\cdot {10}^9}\cdot q=0$$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение общего вида $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-\frac{2\cdot {10}^{-3}}{9\cdot {10}^9}$ и $c=0$.

Используя формулу дискриминанта, мы найдем значения:

$$D=b^2-4ac$$

$$D={(-\frac{2\cdot {10}^{-3}}{9\cdot {10}^9})}^2-4\cdot 1\cdot 0$$

$$D=\frac{4\cdot {10}^{-6}}{81\cdot {10}^{18}}$$

$$D=\frac{4}{81\cdot {10}^{12}}$$

Так как дискриминант $D$ равен нулю, это означает, что уравнение имеет один корень.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b}{2a}$$

$$q=\frac{-(-\frac{2\cdot {10}^{-3}}{9\cdot {10}^9})}{2\cdot 1}$$

$$q=\frac{\frac{2\cdot {10}^{-3}}{9\cdot {10}^9}}{2}$$

$$q=\frac{2\cdot {10}^{-3}}{9\cdot {10}^9\cdot 2}$$

Теперь, вычислим значение заряда $q$:

$$q=\frac{{10}^{-3}}{9\cdot {10}^9}$$

$$q=\frac{1}{9\cdot {10}^{12}}$$

$$q=\frac{1}{9}\cdot {10}^{-12}$$

Таким образом, заряд на участке провода длиной 1 метр равен $q=\frac{1}{9}\cdot {10}^{-12}$ Кл.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти напряженность электрического поля на расстоянии 40 сантиметров от центральной оси цилиндра.

Для нахождения напряженности электрического поля на данном расстоянии, мы можем использовать формулу:

$$E=\frac{k\cdot Q}{r^2}$$

где $Q$ - заряд, создающий электрическое поле, $r$ - расстояние от заряда до точки, где мы находимся.

Мы уже нашли заряд $q$ на участке провода длиной 1 метр равным $q=\frac{1}{9}\cdot {10}^{-12}$ Кл.

Теперь мы можем использовать этот заряд для нахождения напряженности электрического поля на расстоянии 40 сантиметров от центральной оси цилиндра:

$$E=\frac{k\cdot q}{r^2}$$

$$E=\frac{9\cdot {10}^9\cdot \frac{1}{9}\cdot {10}^{-12}}{(0.4{)}^2}$$

$$E=\frac{{10}^{-3}}{0.16\cdot {10}^{-2}}$$

$$E=\frac{1}{0.16}\cdot {10}^{12}$$

$$E=6.25\cdot {10}^{11}$$

Таким образом, напряженность электрического поля на расстоянии 40 сантиметров от центральной оси цилиндра равна $E=6.25\cdot {10}^{11}$ Н/Кл.