Какова величина угла между плоскостью сечения и плоскостью основания в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD, если

Правильная четырехугольная пирамида MABCD - это пирамида, у которой основание - четырехугольник MABCD - является правильным, то есть все его стороны и углы равны.

Понимая это, давайте рассмотрим данную задачу более подробно. Предположим, что площадь основания пирамиды равна S, а площадь сечения (плоскости, проходящей через пирамиду под определенным углом) равна 1,125S, где S - некоторая площадь.

Чтобы определить угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, воспользуемся геометрическими свойствами пирамиды. Заметим, что в пирамиде плоскости сечения и плоскость основания пересекаются по общей линии.

Рассмотрим эту линию подробнее. В пирамиде MABCD плоскость основания MABCD является прямоугольником, поэтому у нее есть две параллельные стороны MA и CD, а также две параллельные стороны AB и MC.

Теперь рассмотрим плоскость сечения. Пусть эта плоскость пересекает стороны MA и CD в точках K и L соответственно, а стороны AB и MC - в точках N и O соответственно. Также пусть точка пересечения линии KL и линии NO равняется P.

Так как пирамида MABCD - правильная, то все ее ребра имеют одинаковую длину, и следовательно, отрезки MA, AB, BC, CD, DM и MC имеют одинаковую длину.

Рассмотрим треугольники MNO и MPK. Они подобны, так как имеют две пары равных углов: угол M и угол N равны (углы поворачиваются), а также углы NOP и PKM равны (перпендикулярность линий). Это свойство подобных треугольников.

Таким образом, соотношение сторон в этих треугольниках такое же: \(\frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{NO}}{{PK}}\).

Учтем, что площади треугольников пропорциональны квадратам соответствующих сторон.

Так как площадь сечения плоскостью в 1,125 раз больше площади основания, можно записать соотношение площадей: \(\frac{{\text{{площадь сечения}}}}{{\text{{площадь основания}}}} = \frac{{NO}}{{AB}} = 1,125\).

Теперь рассмотрим треугольник MPK. Он прямоугольный, так как точка P - середина гипотенузы MO. Пусть угол MPK обозначается как \(\alpha\). Тогда косинус этого угла можно записать как \(\cos(\alpha) = \frac{{MP}}{{PK}}\).

Таким образом, у нас есть соотношение сторон для треугольников и равенство косинуса угла MPK. Используя эти свойства, мы можем выразить угол \(\alpha\) через известные значения:

\[
\cos(\alpha) = \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{MN - NK}}{{PK}} = \frac{{NO - 0,5 \cdot AB}}{{0,5 \cdot AB}} = \frac{{1,125 \cdot AB - 0,5 \cdot AB}}{{0,5 \cdot AB}} = \frac{{0,625 \cdot AB}}{{0,5 \cdot AB}} = \frac{{5}}{{8}}
\]

Теперь мы можем определить угол \(\alpha\) с помощью обратного косинуса:

\[
\alpha = \arccos\left(\frac{{5}}{{8}}\right)
\]

Таким образом, величина угла между плоскостью сечения и плоскостью основания в правильной четырехугольной пирамиде MABCD равна \(\alpha = \arccos\left(\frac{{5}}{{8}}\right)\). Вычисляя эту величину, мы получим ответ в радианах.