Какова площадь треугольника mnk, если его сторона mn равна 6 и радиус описанной около него окружности равен 6

Конечно, я помогу вам с этой задачей.

Для начала, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника по стороне и радиусу описанной окружности. Формула выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{abc}}{{4R}},\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(R\) - радиус описанной около треугольника окружности.

В нашей задаче у нас только одна из сторон, сторона \(mn\), равна 6, а радиус описанной около треугольника окружности также равен 6 см. Поэтому мы можем переписать формулу в более удобном виде:

\[S = \frac{{6 \cdot 6 \cdot c}}{{4 \cdot 6}},\]

где \(c\) - третья сторона треугольника \(nk\).

Теперь нам нужно найти третью сторону, выразив ее через известные данные - сторону \(mn\) и угол \(n\). Здесь мы можем воспользоваться теоремой синусов:

\[\frac{{mn}}{{\sin \angle m}} = \frac{{nk}}{{\sin \angle n}}.\]

Мы знаем, что сторона \(mn\) равна 6 и угол \(n\) равен 45 градусов:

\[\frac{{6}}{{\sin 45^\circ}} = \frac{{nk}}{{\sin 45^\circ}}.\]

Так как синус \(45^\circ\) равен \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\), у нас получается:

\[6 = \frac{{nk}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}}}.\]

Чтобы найти \(nk\), мы можем перемножить обе стороны на \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\):

\[6 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = nk.\]

Таким образом, \(nk = 3\sqrt{2}\).

Теперь вернемся к формуле для площади треугольника:

\[S = \frac{{6 \cdot 6 \cdot (3\sqrt{2})}}{{4 \cdot 6}}.\]

Упростим эту формулу:

\[S = \frac{{36\sqrt{2}}}{{4}}.\]

И далее:

\[S = 9\sqrt{2}.\]

Итак, площадь треугольника \(mnk\) равна \(9\sqrt{2}\).