Какова величина угла B в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, если известно, что длина высоты CD равна

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и основные свойства прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, мы знаем, что длина высоты CD равна DA = 4 и длина AC равна 8.

Первым шагом рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В этом треугольнике мы знаем две стороны - AC = 8 и AD = 4. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону DC.

Теорема Пифагора звучит следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

Подставим известные значения:

\[8^2 = 4^2 + CD^2\]

\[64 = 16 + CD^2\]

Теперь вычтем 16 из обеих сторон:

\[CD^2 = 48\]

Чтобы найти длину стороны CD, мы должны извлечь квадратный корень из обеих сторон:

\[CD = \sqrt{48}\]

\[CD = 4\sqrt{3}\]

Таким образом, мы узнали, что сторона CD равна \(4\sqrt{3}\).

Теперь, мы готовы рассмотреть треугольник ABC. Нам нужно найти угол B. Мы знаем две стороны - AC = 8 и CD = \(4\sqrt{3}\). Можем использовать тангенс угла B, так как у нас есть противолежащая и прилежащая стороны.

Тангенс угла B задается соотношением:

\[\tan(B) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}}\]

\[\tan(B) = \frac{AC}{CD}\]

\[\tan(B) = \frac{8}{4\sqrt{3}}\]

Рационализируя знаменатель, получим:

\[\tan(B) = \frac{8}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[\tan(B) = \frac{8\sqrt{3}}{12}\]

\[\tan(B) = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Теперь, чтобы найти угол B, мы должны применить арктангенс к обеим сторонам:

\[B = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\]

Таким образом, угол B равен приблизительно \(37.38\) градусов.