Какова величина и направление скорости точки при t = 0, 1 и 2 с, если она движется согласно следующему уравнению

Для решения этой задачи нам необходимо найти скорость точки в заданные моменты времени и определить её направление. Давайте начнем с нахождения скорости.

Дано уравнение движения точки:
\[x = 4\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\]
\[y = 3\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\]

Для нахождения скорости точки в каждый момент времени, нам понадобится производная от уравнения по времени \(t\).

Дифференцируя уравнения по времени, получаем:
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 4\cdot\frac{{\pi}}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) = 2\pi\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\]
\[\frac{{dy}}{{dt}} = 3\cdot\frac{{\pi}}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\]

Теперь мы можем найти скорость точки в каждый момент времени, подставив значения \(t\) в полученные выражения:

При \(t = 0\) с:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = 2\pi\cos\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right) = 2\pi\cos(0) = 2\pi\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos(0) = \frac{3\pi}{2}\)

Скорость точки при \(t = 0\) с будет равна:
\[v_0 = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2} = \sqrt{(2\pi)^2 + \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2} = \sqrt{4\pi^2 + \frac{9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{16\pi^2 + 9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{25\pi^2}{4}} = \frac{5\pi}{2}\approx 7.853\ м/c\]

Чтобы найти направление скорости, нам понадобятся значения косинуса угла между вектором скорости и положительным направлением осей \(x\) и \(y\).

Для \(t = 0\) с:
\(\cos(\angle v_0^x) = \frac{{\frac{{dx}}{{dt}}}}{{v_0}} = \frac{{2\pi}}{{\frac{5\pi}{2}}} = \frac{4}{5} = 0.8\)
\(\cos(\angle v_0^y) = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{v_0}} = \frac{{\frac{3\pi}{2}}}{{\frac{5\pi}{2}}} = \frac{3}{5} = 0.6\)

Таким образом, при \(t = 0\) с, скорость точки будет равна \(v_0 = \frac{5\pi}{2}\approx 7.853\ м/c\) и будет направлена под углами, задаваемыми значениями \(\cos(\angle v_0^x) = 0.8\) и \(\cos(\angle v_0^y) = 0.6\).

Повторим аналогичные шаги для \(t = 1\) с и \(t = 2\) с:

При \(t = 1\) с:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = 2\pi\cos\left(\frac{\pi\cdot 1}{2}\right) = 2\pi\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi\cdot 1}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)

Скорость точки при \(t = 1\) с будет равна:
\[v_1 = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\ м/c\]

При \(t = 2\) с:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = 2\pi\cos\left(\frac{\pi\cdot 2}{2}\right) = 2\pi\cos(\pi) = -2\pi\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi\cdot 2}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cos(\pi) = -\frac{3\pi}{2}\)

Скорость точки при \(t = 2\) с будет равна:
\[v_2 = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2} = \sqrt{(-2\pi)^2 + \left(-\frac{3\pi}{2}\right)^2} = \sqrt{4\pi^2 + \frac{9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{16\pi^2 + 9\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{25\pi^2}{4}} = \frac{5\pi}{2}\approx 7.853\ м/c\]

Для \(t = 2\) с:
\(\cos(\angle v_2^x) = \frac{{\frac{{dx}}{{dt}}}}{{v_2}} = \frac{{-2\pi}}{{\frac{5\pi}{2}}} = -\frac{4}{5} = -0.8\)
\(\cos(\angle v_2^y) = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{v_2}} = \frac{{-\frac{3\pi}{2}}}{{\frac{5\pi}{2}}} = -\frac{3}{5} = -0.6\)

Таким образом, при \(t = 2\) с, скорость точки будет равна \(v_2 = \frac{5\pi}{2}\approx 7.853\ м/c\) и будет направлена под углами, задаваемыми значениями \(\cos(\angle v_2^x) = -0.8\) и \(\cos(\angle v_2^y) = 0.6\).