Какова теплоемкость газа в процессе его расширения, если один моль гелия расширяется таким образом, что температура

Как известно из физики, теплоемкость газа при постоянном объеме выражается через универсальную газовую постоянную \(R\) следующей формулой:

\[C_v = \frac{{R}}{{M}}\]

Где \(C_v\) - теплоемкость при постоянном объеме, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(M\) - молярная масса газа.

В данной задаче нам предоставлены два процента изменения: температурное изменение \(0,5\%\) и изменение давления \(1,6\%\).

Для начала, нам необходимо выразить коэффициент Пуассона \(k\) (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме) через данные проценты изменения:

\[k = \frac{{C_p}}{{C_v}} = \frac{{\Delta PV}}{{\Delta TV}}\]

Где \(C_p\) - теплоемкость при постоянном давлении, \(\Delta P\) и \(\Delta T\) - изменение давления и температуры соответственно.

Известно, что для моноатомного газа, такого как гелий, коэффициент Пуассона равен \(k = \frac{{5}}{{3}}\).

Мы также знаем, что \(C_p - C_v = R\), что позволяет нам выразить теплоемкость при постоянном объеме через теплоемкость при постоянном давлении и универсальную газовую постоянную:

\[C_v = C_p - R\]

Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы найти теплоемкость газа при постоянном объеме в нашей задаче.

Сначала найдем теплоемкость при постоянном давлении \(C_p\):

\[k = \frac{{C_p}}{{C_v}} \Rightarrow C_p = k \cdot C_v = \frac{{5}}{{3}} \cdot C_v\]

Затем мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить теплоемкость при постоянном объеме \(C_v\) через универсальную газовую постоянную \(R\) и теплоемкость при постоянном давлении \(C_p\):

\[C_v = C_p - R = \frac{{5}}{{3}} \cdot C_v - R\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(C_v\):

\[C_v = \frac{{3R}}{{2}}\]

Воспользуемся данными из условия задачи для расчета теплоемкости газа в процессе его расширения. Мы знаем, что изменение температуры составляет \(0,5\%\) и изменение давления составляет \(1,6\%\). Это означает, что можно использовать следующие соотношения:

\[\frac{{\Delta T}}{{T}} = 0,005\]
\[\frac{{\Delta P}}{{P}} = -0,016\]

Где \(\Delta T\) и \(\Delta P\) - изменение температуры и давления соответственно, а \(T\) и \(P\) - исходные значения температуры и давления.

Теперь мы можем использовать эти данные для расчета \(C_v\):

\[\frac{{\Delta T}}{{T}} = \frac{{C_v}}{{n \cdot R}} \Delta P\]

Где \(n\) - количество молей газа, в данном случае равно 1, так как у нас один моль гелия.

Теперь мы можем найти теплоемкость газа:

\[\frac{{\Delta T}}{{T}} = \frac{{C_v}}{{n \cdot R}} \Delta P\]
\[0,005 = \frac{{\frac{{3R}}{{2}}}}{{1 \cdot R}} \cdot (-0,016)\]

Произведем вычисления:

\[0,005 = -0,024\]

Полученное уравнение не имеет смысла и не может быть выполнено, поэтому мы не можем найти конкретное значение теплоемкости газа при постоянном объеме в данной задаче.