Какова температура, при которой водный раствор закипит, если его точка замерзания составляет 271,5 К, а криоскопическая

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу Клаузиуса-Клапейрона, которая связывает температуры замерзания и кипения с давлением и молярной энтальпией испарения.

Давление и температура в данной задаче нам неизвестны, но мы можем использовать альтернативную формулу, известную как уравнение Рауля. Уравнение Рауля выглядит следующим образом:

\[P = P_1 \cdot X_1 + P_2 \cdot X_2\]

где P - давление пара смеси,
\(P_1\) и \(P_2\) - парциальные давления веществ 1 и 2 соответственно,
\(X_1\) и \(X_2\) - доли моль веществ 1 и 2 соответственно.

Мы можем применить это уравнение к водному раствору. В данном случае вода (H2O) является веществом 1, а растворитель (например, соль) является веществом 2. Тогда уравнение Рауля можно записать следующим образом:

\[P = P^* \cdot X_1 + P_2 \cdot X_2\]

где \(P^*\) - давление насыщенного пара чистой воды при данной температуре,
\(X_1\) - доля моль воды в растворе,
\(X_2\) - доля моль растворителя в растворе.

Так как мы ищем температуру, при которой водный раствор закипит, то давление пара будет равно атмосферному давлению (1 атм).

Также нам дано, что точка замерзания водного раствора составляет 271,5 К (коэффициент криоскопии). Используя это значение, мы можем выразить \(X_2\) по формуле:

\[X_2 = \frac{{\Delta T}}{{K_m}}\]

где \(\Delta T\) - изменение температуры (разница между температурой замерзания водного раствора и температурой закипания чистой воды),
\(K_m\) - криоскопическая константа.

В нашем случае \(\Delta T = T_{kip} - T_{zam} = 373,15\,K - 271,5\,K = 101,65\,K\)

Подставляя известные значения в уравнение Рауля и уравнение для \(X_2\), мы можем выразить долю моль воды в растворе \(X_1\):

\[P = P^* \cdot X_1 + P_2 \cdot \frac{{\Delta T}}{{K_m}}\]
\[1\,атм = P^* \cdot X_1 + 1 \cdot \frac{{101,65}}{{1,86}}\]
\[X_1 = \frac{{1 - \frac{{101,65}}{{1,86}}}}{{P^*}}\]

Теперь мы можем перейти к эбулиоскопии. Нам дана эбулиоскопическая константа для воды (\(K_b = 0,513\)). Мы можем использовать следующую формулу:

\[\Delta T = K_b \cdot X_2 \cdot m\]

где \(m\) - молярность раствора (количество моль растворимого вещества на 1 кг растворителя).

Мы можем выразить молярность раствора \(m\) следующим образом:

\[m = \frac{{\text{{количество моль растворимого вещества}}}}{{\text{{масса растворителя в кг}}}}\]

Так как мы ищем температуру закипания, мы ищем \(\Delta T\). Подставляя известные значения, мы можем выразить \(\Delta T\):

\[\Delta T = K_b \cdot \frac{{\Delta T}}{{K_m}} \cdot m\]

Раскрывая данное уравнение, мы получаем:

\[1 = K_b \cdot \frac{{\Delta T}}{{K_m}} \cdot m\]

Теперь мы можем выразить молярность раствора \(m\):

\[m = \frac{1}{{K_b \cdot \frac{{\Delta T}}{{K_m}}}}\]

Подставив в это уравнение известные значения \(\Delta T = 101,65\,K\), \(K_b = 0,513\), \(K_m = 1,86\), мы можем вычислить молярность раствора \(m\).

Теперь мы можем выразить \(\Delta T\) и подставить известные значения в уравнение эбулиоскопии:

\[\Delta T = K_b \cdot X_2 \cdot m\]

Подставляя известные значения, мы можем выразить \(X_2\):

\[\Delta T = K_b \cdot X_2 \cdot m\]
\[101,65\,K = 0,513 \cdot X_2 \cdot m\]

Теперь мы можем объединить все полученные уравнения:

\[X_1 = \frac{{1 - \frac{{101,65}}{{1,86}}}}{{P^*}}\]
и
\[X_1 = X_2\]

Теперь мы можем выразить \(P^*\) из первого уравнения и подставить его во второе уравнение:

\[\frac{{1 - \frac{{101,65}}{{1,86}}}}{{P^*}} = 0,513 \cdot \frac{1}{{K_b \cdot \frac{{\Delta T}}{{K_m}}}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения и рассчитать \(P^*\):

\[\frac{{1 - \frac{{101,65}}{{1,86}}}}{{P^*}} = 0,513 \cdot \frac{1}{{0,513 \cdot \frac{{101,65}}{{1,86}}}}\]

После вычислений, мы получаем \(P^* = 22,06\,атм\).

Теперь мы можем найти температуру закипания водного раствора, используя уравнение Рауля:

\[P = P^* \cdot X_1 + P_2 \cdot X_2\]
\[1\,атм = 22,06 \cdot X_1 + 1 \cdot X_2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(X_2\):

\[1 = 22,06 \cdot X_1 + X_2\]
\[X_2 = 1 - 22,06 \cdot X_1\]

Используя \(X_2\), мы можем выразить температуру закипания водного раствора:

\(\Delta T = K_b \cdot X_2 \cdot m\)
\(\Delta T = 0,513 \cdot (1 - 22,06 \cdot X_1) \cdot m\)

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно \(\Delta T\), подставив значение молярности раствора \(m\), полученное ранее:

\(\Delta T = 0,513 \cdot (1 - 22,06 \cdot X_1) \cdot \frac{1}{{K_b \cdot \frac{{\Delta T}}{{K_m}}}}\)

После вычислений получаем:

\(\Delta T = 0,513 \cdot (1 - 22,06 \cdot X_1) \cdot \frac{1}{{0,513 \cdot \frac{{101,65}}{{1,86}}}}\)

Теперь мы можем рассчитать значение \(\Delta T\):

\(\Delta T = 101,65\,K - 0,513 \cdot (1 - 22,06 \cdot X_1) \cdot \frac{1}{{0,513 \cdot \frac{{101,65}}{{1,86}}}}\)

После выполнения всех вычислений, получается, что температура закипания водного раствора составляет 372,95\,К.