Какова связь между суммой внутренних углов и суммой внешних углов выпуклого n-угольника?

Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника и сумма внешних углов выпуклого \(n\)-угольника имеют определенную связь. Чтобы понять эту связь, давайте рассмотрим несколько примеров и посмотрим на шаблон, который мы можем заметить.

Для начала, давайте рассмотрим случай с треугольником, который является простейшим выпуклым \(n\)-угольником. У треугольника есть 3 внутренних угла и 3 внешних угла. Мы можем заметить, что сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна \(180\) градусов.

Теперь давайте рассмотрим пример с четырехугольником - четырехугольником. У четырехугольника есть 4 внутренних угла и 4 внешних угла. Если мы измерим все эти углы и сложим их, то обнаружим, что сумма всех внутренних углов четырехугольника всегда равна \(360\) градусов, а сумма всех внешних углов четырехугольника также равна \(360\) градусов.

Мы можем продолжать этот процесс для произвольного выпуклого \(n\)-угольника, и мы заметим, что сумма всех внутренних углов всегда будет равна \((n-2) \cdot 180\) градусов, а сумма всех внешних углов также будет равна \((n-2) \cdot 180\) градусов.

Эта связь между суммой внутренних углов и суммой внешних углов выпуклого \(n\)-угольника может быть обоснована следующим образом:

- Каждый внутренний угол может быть рассматриваться как результат суммы всех внешних углов в круговом углу. Таким образом, сумма всех внутренних углов будет равна сумме всех внешних углов в \(360\) градусов (так как круговой угол равен \(360\) градусов).
- Количество внешних углов в плоской фигуре равно количеству вершин фигуры (в данном случае, \(n\)-угольника). Таким образом, общая сумма внешних углов будет равна \((n-2) \cdot 180\) градусов.

Таким образом, мы можем заключить, что сумма внутренних углов и сумма внешних углов выпуклого \(n\)-угольника имеют прямую связь и равны \((n-2) \cdot 180\) градусов.