Какова сумма значений x в градусах, при которых уравнение (ctg x + 1)(cos x-1)=0 имеет решение на интервале (100°

Данное уравнение содержит произведение двух выражений: \(ctg x + 1\) и \(\cos x - 1\). Чтобы уравнение имело решение, хотя бы одно из этих выражений должно быть равно нулю. Рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. Первое выражение: \(ctg x + 1 = 0\)

Чтобы вычислить значения \(x\), при которых \(ctg x + 1 = 0\), сначала решим уравнение \(ctg x = -1\).

Cotangent (ctg) - это отношение синуса и косинуса, поэтому можно записать уравнение в виде \(\frac{\cos x}{\sin x} = -1\).

Умножим обе части уравнения на \(\sin x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(\cos x = -\sin x\)

Используя формулу сокращенного умножения \(\cos x = \sin\left(90^\circ - x\right)\):

\(\sin\left(90^\circ - x\right) = -\sin x\) (1)

Теперь рассмотрим два случая:

a) \(\sin\left(90^\circ - x\right) = \sin x\)

Используя формулу синуса разности \(\sin\left(\alpha - \beta\right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\), можем записать:

\(\sin 90^\circ \cos x - \cos 90^\circ \sin x = \sin x\)

\(1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x = \sin x\)

\(\cos x = \sin x\)

Такое равенство выполняется для углов 45° и 225°. Вспомним, что исходно решали уравнение \(\cos x = -\sin x\), поэтому нужно найти углы, для которых \(\cos x = -\sin x\). Оказывается, что 45° и 225° подходят и под это условие тоже. Следовательно, эти два угла являются решениями уравнения \(ctg x + 1 = 0\).

b) \(\sin\left(90^\circ - x\right) = -\sin x\)

Используя ту же формулу синуса разности (1):

\(\sin 90^\circ \cos x - \cos 90^\circ \sin x = -\sin x\)

\(1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x = -\sin x\)

\(\cos x = -\sin x\)

Это равенство выполняется для углов 315° и 135°. Опять же, проверим, являются ли эти углы решениями уравнения \(ctg x + 1 = 0\) (подставим их в исходное уравнение). Они также подходят и под это условие.

Итак, мы получили 4 значения \(x\), для которых первое выражение становится равным нулю: 45°, 135°, 225° и 315°.

2. Второе выражение: \(\cos x - 1 = 0\)

Решим это уравнение:

\(\cos x = 1\)

Данное уравнение выполняется только для \(x = 0°\).

Итак, мы нашли еще одно значение \(x\), для которого второе выражение становится равным нулю: 0°.

Теперь объединим решения и суммируем все найденные значения \(x\) из обоих выражений:

45° + 135° + 225° + 315° + 0°
= 720°

Таким образом, сумма значений \(x\) в градусах, при которых уравнение имеет решения на интервале (100° ; 400°), равна 720°.