Какова сумма углов aob в четырехугольнике abcd, который описан около окружности с центром

что, если углы \(aob = \theta_1\), \(boc = \theta_2\), \(cod = \theta_3\), и \(doa = \theta_4\)?

Для начала, давайте рассмотрим, что значит "описанный около окружности". Это означает, что вершины четырехугольника лежат на окружности, а его диагонали являются радиусами этой окружности. Поэтому, каждая из диагоналей ab, bc, cd, и da равна радиусу окружности.

Теперь давайте посмотрим на сумму всех внутренних углов в четырехугольнике. Вспомним, что в четырехугольнике у нас всего 4 угла, и сумма всех внутренних углов в нем равна 360 градусов. Таким образом, у нас будет уравнение:

\[\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 = 360^\circ\]

Теперь давайте воспользуемся одним из свойств окружности, а именно центральным углом. Центральный угол, образованный любой хордой и дугой окружности, равен удвоенному углу, образованному этой хордой на окружности. В данном случае, рассмотрим углы:

\(\angle{aob}\) и \(\angle{cod}\) (это уголы на окружности) и
\(\angle{abc}\) и \(\angle{cda}\) (это хорды внутри четырехугольника)

Поскольку диагонали являются радиусами окружности, углы \(\angle{aob}\) и \(\angle{cod}\) равны половине соответствующих хорд \(\angle{abc}\) и \(\angle{cda}\). То есть у нас есть равенства:

\(\theta_1 = \frac{1}{2} \angle{abc}\)
\(\theta_3 = \frac{1}{2} \angle{cda}\)

Аналогичным образом, углы \(\angle{boc}\) и \(\angle{doa}\) равны половине соответствующих дуг \(\angle{bdc}\) и \(\angle{bad}\). То есть:

\(\theta_2 = \frac{1}{2} \angle{bdc}\)
\(\theta_4 = \frac{1}{2} \angle{bad}\)

Теперь мы можем заменить в нашем уравнении значения углов \( \theta_1, \theta_2, \theta_3 \) и \( \theta_4 \) с использованием данных выше. Получим:

\(\frac{1}{2} \angle{abc} + \frac{1}{2} \angle{bdc} + \frac{1}{2} \angle{cda} + \frac{1}{2} \angle{bad} = 360^\circ\)

Умножим уравнение на 2, чтобы убрать дроби:

\(\angle{abc} + \angle{bdc} + \angle{cda} + \angle{bad} = 720^\circ\)

Таким образом, сумма всех углов в четырехугольнике, описанном около окружности с центром \(O\), равна \(720^\circ\).