Какова сумма квадратов возможных значений третьей стороны треугольника, если известно, что две другие стороны равны

Чтобы найти сумму квадратов возможных значений третьей стороны треугольника, имея информацию о равенстве двух других сторон и площади треугольника, нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства треугольника.

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово:

Шаг 1: Вспомним формулу для площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длины двух сторон на синус угла между ними. В нашем случае площадь треугольника равна 9√7 см². Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(\theta) = 9\sqrt{7},\]

где \(\theta\) - это угол между сторонами длиной 6 см и 8 см.

Шаг 2: Мы можем решить это уравнение для синуса угла \(\theta\):

\[48 \cdot \sin(\theta) = 18\sqrt{7}.\]

Шаг 3: Теперь найдем значения синуса угла \(\theta\):

\[\sin(\theta) = \frac{18\sqrt{7}}{48} = \frac{\sqrt{7}}{8}.\]

Шаг 4: Зная значение синуса угла \(\theta\), мы можем найти два возможных значения угла \(\theta\). Так как синус является положительным в первом и во втором квадрантах, то у нас есть два возможных значения для угла \(\theta\):

\[\theta_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{7}}{8}\right) \quad \text{и} \quad \theta_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{7}}{8}\right).\]

Шаг 5: Теперь, зная значения углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\), мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти значения третьей стороны треугольника. Теорема косинусов утверждает, что квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Мы можем записать уравнение теоремы косинусов для каждого значения угла \(\theta\):

\[c_1^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(\theta_1),\]
\[c_2^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(\theta_2),\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - значения третьей стороны треугольника для \(\theta_1\) и \(\theta_2\) соответственно.

Шаг 6: Решим данные уравнения, чтобы найти значения квадратов третьей стороны:

\[c_1^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{7}}{8}\right)\right),\]
\[c_2^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos\left(\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{7}}{8}\right)\right).\]

Шаг 7: Подставим значения углов и вычислим значения квадратов третьей стороны:

\[c_1^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{7}}{8}\right)\right),\]
\[c_2^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos\left(\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{7}}{8}\right)\right).\]

После математических вычислений, получаем:

\[c_1^2 = 49 + 64 - 12 \sqrt{7},\]
\[c_2^2 = 49 + 64 + 12 \sqrt{7}.\]

Шаг 8: Найдем сумму квадратов возможных значений третьей стороны треугольника:

\[c_1^2 + c_2^2 = (49 + 64 - 12 \sqrt{7}) + (49 + 64 + 12 \sqrt{7}) = 2 \cdot (49 + 64) = 2 \cdot 113 = 226\]

Таким образом, сумма квадратов возможных значений третьей стороны треугольника равна 226 квадратным сантиметрам.