Какова сумма корней уравнения x^(3-log(x/3))=900?

Чтобы решить эту задачу, мы сначала должны найти корни уравнения \(x^{3 - \log\left(\frac{x}{3}\right)} = 900\).
Давайте начнем!

1. Предположим, что \(x > 0\), так как мы не можем брать логарифм отрицательного числа.
2. Теперь преобразуем уравнение, чтобы избавиться от логарифма:
\[x^{3 - \log\left(\frac{x}{3}\right)} = 900 \implies x^3 \cdot \frac{1}{x^{\log\left(\frac{x}{3}\right)}} = 900.\]
3. Заметим, что \(x^{\log\left(\frac{x}{3}\right)} = \left(\frac{x}{3}\right)^{\log x} = \left(\frac{x}{3}\right)^{\log 10 \cdot \log_x}\), где \(\log x\) означает логарифм \(x\) по основанию 10.
4. По свойству эквивалентности логарифмов, \(\log x = \frac{\log x}{\log 10}\), исходя из этого, имеем:
\[x^{\log\left(\frac{x}{3}\right)} = \left(\frac{x}{3}\right)^{\log 10 \cdot \log_x} = \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{\log x}{\log 10}}.\]
5. Мы знаем, что \(\log 10 = 1\), поэтому можно записать:
\[\left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{\log x}{\log 10}} = \left(\frac{x}{3}\right)^{\log x}.\]
6. Таким образом, уравнение становится:
\[x^3 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)^{\log x^{-1}} = 900.\]

Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: \(\log x^{-1} = 0\)
В этом случае \(\frac{1}{x} = 1\), откуда \(x = 1\).

Случай 2: \(\log x^{-1} \neq 0\)
В этом случае уравнение можно записать как:
\[x^3 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)^{\log x^{-1}} = 900.\]
Возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{\log x^{-1}}\):
\[x^3 \cdot \left(\frac{x}{3}\right) = 900^{\frac{1}{\log x^{-1}}} = 900.\]
Упростим уравнение:
\[\frac{x^4}{3} = 900.\]
Теперь умножим обе части на 3:
\[x^4 = 2700.\]
Найдем корень четвертой степени от обеих частей:
\[x = \sqrt[4]{2700}.\]

Таким образом, уравнение \(x^{3 - \log\left(\frac{x}{3}\right)} = 900\) имеет два корня: \(x = 1\) и \(x = \sqrt[4]{2700}\).

Чтобы найти сумму корней, мы просто складываем их:
\[1 + \sqrt[4]{2700}.\]

И это и есть ответ на задачу.