Какова сумма коэффициентов разложения выражения (х+1) в пятой степени?

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой Бинома Ньютона, которая позволяет разложить выражение \((x+1)^n\) на сумму членов.

Формула Бинома Ньютона имеет вид: \((a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n\), где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Для данной задачи, где \(a = x\) и \(b = 1\), и нам необходимо разложить выражение \((x+1)^5\) на сумму коэффициентов. Мы можем рассчитать каждый член разложения отдельно и затем сложить их.

Таким образом, для данной задачи имеем:

\((x+1)^5 = C_5^0 \cdot x^5 \cdot 1^0 + C_5^1 \cdot x^4 \cdot 1^1 + C_5^2 \cdot x^3 \cdot 1^2 + C_5^3 \cdot x^2 \cdot 1^3 + C_5^4 \cdot x^1 \cdot 1^4 + C_5^5 \cdot x^0 \cdot 1^5\)

Вычислим каждый член разложения:

\(C_5^0 \cdot x^5 \cdot 1^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1^0 = x^5\)

\(C_5^1 \cdot x^4 \cdot 1^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 1^1 = 5x^4\)

\(C_5^2 \cdot x^3 \cdot 1^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 1^2 = 10x^3\)

\(C_5^3 \cdot x^2 \cdot 1^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 1^3 = 10x^2\)

\(C_5^4 \cdot x^1 \cdot 1^4 = 5 \cdot x^1 \cdot 1^4 = 5x\)

\(C_5^5 \cdot x^0 \cdot 1^5 = 1 \cdot x^0 \cdot 1^5 = 1\)

Теперь сложим все полученные члены разложения:

\(x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\)

Таким образом, сумма коэффициентов разложения выражения \((x+1)^5\) равна \(1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32\).