Какова сумма коэффициентов разложения выражения (х+1) в пятой степени?

Question

Математика: Какова сумма коэффициентов разложения выражения (х+1) в пятой степени?

Murchik · Accepted Answer

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой Бинома Ньютона, которая позволяет разложить выражение

(x + 1)^{n}

на сумму членов.

Формула Бинома Ньютона имеет вид:

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} \cdot a^{n} \cdot b^{0} + C_{n}^{1} \cdot a^{n - 1} \cdot b^{1} + C_{n}^{2} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + \dots + C_{n}^{n} \cdot a^{0} \cdot b^{n}

, где

C_{n}^{k}

- биномиальный коэффициент, равный

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

.

Для данной задачи, где

a = x

и

b = 1

, и нам необходимо разложить выражение

(x + 1)^{5}

на сумму коэффициентов. Мы можем рассчитать каждый член разложения отдельно и затем сложить их.

Таким образом, для данной задачи имеем:

(x + 1)^{5} = C_{5}^{0} \cdot x^{5} \cdot 1^{0} + C_{5}^{1} \cdot x^{4} \cdot 1^{1} + C_{5}^{2} \cdot x^{3} \cdot 1^{2} + C_{5}^{3} \cdot x^{2} \cdot 1^{3} + C_{5}^{4} \cdot x^{1} \cdot 1^{4} + C_{5}^{5} \cdot x^{0} \cdot 1^{5}

Вычислим каждый член разложения:

C_{5}^{0} \cdot x^{5} \cdot 1^{0} = 1 \cdot x^{5} \cdot 1^{0} = x^{5}

C_{5}^{1} \cdot x^{4} \cdot 1^{1} = 5 \cdot x^{4} \cdot 1^{1} = 5 x^{4}

C_{5}^{2} \cdot x^{3} \cdot 1^{2} = 10 \cdot x^{3} \cdot 1^{2} = 10 x^{3}

C_{5}^{3} \cdot x^{2} \cdot 1^{3} = 10 \cdot x^{2} \cdot 1^{3} = 10 x^{2}

C_{5}^{4} \cdot x^{1} \cdot 1^{4} = 5 \cdot x^{1} \cdot 1^{4} = 5 x

C_{5}^{5} \cdot x^{0} \cdot 1^{5} = 1 \cdot x^{0} \cdot 1^{5} = 1

Теперь сложим все полученные члены разложения:

x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1

Таким образом, сумма коэффициентов разложения выражения

(x + 1)^{5}

равна

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32

.