Какова сумма абсцисс точек касания, если через точку M(2;-93) проходят две касательные к графику функции f(x)=7x2-2x-5?

Для решения этой задачи нам понадобится знание о производной функции. Сначала найдем производную функции \( f(x) \).

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(7x^2 - 2x - 5) \]

Продифференцируем каждый член функции по отдельности. Для этого используем правила дифференцирования: производная константы равна нулю, производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \) (где \( n \) - любое число).

\[ f"(x) = 14x - 2 \]

Теперь, чтобы найти точку касания графика функции \( f(x) \) с прямой, проходящей через данную точку \( M(2;-93) \), мы можем использовать следующий факт: касательная к графику функции в точке \( x_0 \) имеет угловой коэффициент, равный значению производной функции в этой точке.

Таким образом, значение производной функции в точке касания будет также определять угловой коэффициент касательной, проходящей через эту точку.

Подставим \( x = 2 \) в производную функции \( f"(x) \):

\[ f"(2) = 14 \cdot 2 - 2 = 28 - 2 = 26 \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной, проходящей через точку \( M(2;-93) \), равен 26.

Теперь мы можем использовать уравнение прямой для построения уравнений двух касательных. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \), где \( k \) - угловой коэффициент, а \( b \) - свободный член.

У нас есть две касательные, поэтому нам нужно найти уравнение каждой из них. Поскольку они оба проходят через точку \( M(2;-93) \), мы можем использовать это для нахождения значений свободного члена \( b \) для каждой из них.

Для первой касательной:

\[ -93 = 26 \cdot 2 + b_1 \]
\[ b_1 = -93 - 52 \]
\[ b_1 = -145 \]

Теперь у нас есть уравнение первой касательной: \( y = 26x - 145 \).

Для второй касательной:

\[ -93 = 26 \cdot 2 + b_2 \]
\[ b_2 = -93 - 52 \]
\[ b_2 = -145 \]

У нас получилась точно такая же характеристика \( b_2 \), что у первой касательной. Значит, у нас есть две касательные с одинаковыми уравнениями. Это означает, что они касаются графика функции в одной и той же точке.

Теперь нам нужно найти сумму абсцисс точек касания. Мы можем сделать это, найдя абсциссу точки пересечения двух касательных.

Для этого приравниваем уравнение первой касательной к уравнению второй касательной:

\[ 26x - 145 = 26x - 145 \]

Уравнение имеет одинаковые члены на обеих сторонах, поэтому сумма абсцисс точек касания равна 2.

Ответ: Сумма абсцисс точек касания равна 2.