Какова средняя скорость частицы за два первых оборота, если точка движется по окружности радиуса r с ускорением

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения средней скорости и ускорения.

Средняя скорость - это отношение пройденного расстояния к затраченному времени. Для частицы, двигающейся по окружности, расстояние, которое она проходит за один оборот, равно длине окружности.

Длина окружности вычисляется по формуле \(L = 2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности.

Теперь перейдем к ускорению частицы. Ускорение - это изменение скорости со временем. В данной задаче ускорение пропорционально кубу времени, а значит, можно записать ускорение следующим образом: \(a = kt^3\), где \(a\) - ускорение, \(t\) - время, \(k\) - постоянная пропорциональности.

Наша задача - найти среднюю скорость частицы за два первых оборота. Поскольку скорость не является постоянной, нам нужно найти скорость на каждом отрезке времени и затем усреднить их.

Давайте представим, что частица начинает свое движение в момент \(t = 0\). Тогда время, прошедшее с начала движения, можно представить как сумму времени на каждом отрезке оборота.

Если частица проходит один оборот, то время, затраченное на него, равно времени полного круга, то есть \(T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{a}}\). Где \(a\) - ускорение, \(r\) - радиус окружности.

Теперь у нас есть время, нужное для одного оборота. Найдем время, нужное для двух оборотов, складывая два времени на один оборот.

\(t_2 = 2T = 4\pi\sqrt{\frac{r}{a}}\)

Итак, мы найдем скорость на каждом отрезке времени и затем усредним их. Для этого мы разделим пройденное расстояние за два оборота на общее время движения.

Средняя скорость будет:

\[
V_{avg} = \frac{2L}{t_2} = \frac{2 \cdot 2\pi r}{4\pi\sqrt{\frac{r}{a}}} = \frac{2r}{\sqrt{\frac{r}{a}}}
\]

Сокращая и упрощая эту формулу, мы получим:

\[
V_{avg} = 2\sqrt{ar}
\]

Таким образом, мы нашли формулу для средней скорости частицы за два первых оборота, если ускорение пропорционально кубу времени.