Какова средняя длина волны излучения источника света мощностью 100 Вт, который испускает 5·10²⁰ фотонов в секунду?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу, связывающую энергию и частоту излучения электромагнитных волн:

$$E=hf,$$

где $E$ - энергия фотона, $h$ - постоянная Планка, $f$ - частота излучения.

Мы также можем использовать формулу, связывающую энергию, мощность и количество фотонов:

$$E=P\cdot t,$$

где $P$ - мощность источника света, а $t$ - время.

У нас есть мощность источника света, равная 100 Вт, и количество фотонов, равное $5\cdot {10}^{20}$ фотонов в секунду. Нам нужно найти среднюю длину волны излучения этого источника света.

Сначала, найдем энергию каждого фотона из формулы для мощности:

$$E=P\cdot t=100\text{Дж}.$$

Затем, найдем энергию одного фотона:

$$E=\frac{hf}{2\pi },$$

где $\frac{1}{2\pi }$ - это нормировочный коэффициент для получения средней энергии фотона. Таким образом,

$$100\text{Дж}=\frac{h\cdot f}{2\pi }.$$

Далее, найдем частоту излучения фотона, используя вторую формулу:

$$5\cdot {10}^{20}\text{фотонов/с}=f.$$

Теперь мы получили систему уравнений:

$$\begin{array}{rl}100\text{Дж}& =\frac{h\cdot f}{2\pi },\\ 5\cdot {10}^{20}\text{фотонов/с}& =f.\end{array}$$

Решим эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:

$$100\text{Дж}=\frac{h\cdot (5\cdot {10}^{20}\text{фотонов/с})}{2\pi }.$$

Теперь найдем среднюю длину волны излучения, используя формулу связи энергии и частоты электромагнитных волн:

$$E=h\cdot f=\frac{hc}{\lambda },$$

где $c$ - скорость света, а $\lambda$ - средняя длина волны.

Таким образом,

$$\lambda =\frac{hc}{E}.$$

Подставим полученные значения:

$$\lambda =\frac{(6.626\times {10}^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с})\cdot (3\times {10}^8\text{м/с})}{100\text{Дж}}.$$

Вычислив это выражение, мы получим значение средней длины волны излучения источника света мощностью 100 Вт, который испускает $5\cdot {10}^{20}$ фотонов в секунду.

$$\lambda \approx 3.978\times {10}^{-8}\text{м}.$$

Таким образом, средняя длина волны данного источника света составляет примерно $3.978\times {10}^{-8}$ метра или $39.78$ нанометра.