Какова средняя длина волны излучения источника света мощностью 100 Вт, который испускает 5·10²⁰ фотонов в секунду?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу, связывающую энергию и частоту излучения электромагнитных волн:

\[E = hf,\]

где \(E\) - энергия фотона, \(h\) - постоянная Планка, \(f\) - частота излучения.

Мы также можем использовать формулу, связывающую энергию, мощность и количество фотонов:

\[E = P \cdot t,\]

где \(P\) - мощность источника света, а \(t\) - время.

У нас есть мощность источника света, равная 100 Вт, и количество фотонов, равное \(5 \cdot 10^{20}\) фотонов в секунду. Нам нужно найти среднюю длину волны излучения этого источника света.

Сначала, найдем энергию каждого фотона из формулы для мощности:

\[E = P \cdot t = 100 \, \text{Дж}.\]

Затем, найдем энергию одного фотона:

\[E = \frac{hf}{2\pi},\]

где \(\frac{1}{2\pi}\) - это нормировочный коэффициент для получения средней энергии фотона. Таким образом,

\[100 \, \text{Дж} = \frac{h \cdot f}{2\pi}.\]

Далее, найдем частоту излучения фотона, используя вторую формулу:

\[5 \cdot 10^{20} \, \text{фотонов/с} = f.\]

Теперь мы получили систему уравнений:

\[
\begin{align*}
100 \, \text{Дж} &= \frac{h \cdot f}{2\pi}, \\
5 \cdot 10^{20} \, \text{фотонов/с} &= f.
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:

\[100 \, \text{Дж} = \frac{h \cdot (5 \cdot 10^{20} \, \text{фотонов/с})}{2\pi}.\]

Теперь найдем среднюю длину волны излучения, используя формулу связи энергии и частоты электромагнитных волн:

\[E = h \cdot f = \frac{hc}{\lambda},\]

где \(c\) - скорость света, а \(\lambda\) - средняя длина волны.

Таким образом,

\[\lambda = \frac{hc}{E}.\]

Подставим полученные значения:

\[\lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})}{100 \, \text{Дж}}.\]

Вычислив это выражение, мы получим значение средней длины волны излучения источника света мощностью 100 Вт, который испускает \(5 \cdot 10^{20}\) фотонов в секунду.

\[ \lambda \approx 3.978 \times 10^{-8} \, \text{м}.\]

Таким образом, средняя длина волны данного источника света составляет примерно \(3.978 \times 10^{-8}\) метра или \(39.78\) нанометра.