Какова спектральная плотность энергетической светимости серого тела с такой же температурой и коэффициентом поглощения

Спасибо за интересную задачу! Для решения этой задачи, давайте сначала вспомним некоторые основные понятия. Спектральная плотность энергетической светимости черного тела определяет количество энергии, излучаемой черным телом на единицу площади и единицу времени в заданном интервале длин волн.

Для черного тела, спектральная плотность энергетической светимости (\(E_\lambda\)) обычно вычисляется с помощью формулы Планка:

\[E_\lambda = \frac{{2\pi hc^2}}{{\lambda^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda kT}}}-1}}\]

где \(h\) - постоянная Планка (\(6.62607015 \times 10^{-34}\) Дж·с), \(c\) - скорость света (\(2.998 \times 10^8\) м/с), \(\lambda\) - длина волны (\(нм\)), \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.380649 \times 10^{-23}\) Дж/К), а \(T\) - температура абсолютная (\(К\)).

Однако данная задача просит найти спектральную плотность энергетической светимости серого тела, у которого температура и коэффициент поглощения такие же, как у черного тела в данном интервале длин волн.

Спектральная плотность энергетической светимости серого тела (\(E_g\)) может быть выражена через параметры черного тела. Теперь, чтобы вывести это выражение, нам понадобится использовать законы Больцмана.

Взаимосвязь между поглощением энергии (\(A\)) и спектральной плотностью энергетической светимости черного тела (\(E_b\)) определяется следующим выражением:

\[A = \frac{{E_b \cdot \alpha \cdot L}}{{c \cdot M}}\]

где \(A\) - поглощение энергии в единицу времени и единицу площади (\(\text{Вт/м}^2\)), \(\alpha\) - коэффициент поглощения, \(L\) - толщина материала (\(м\)), а \(M\) - молярная масса материала (\(кг/моль\)).

Теперь, чтобы найти спектральную плотность энергетической светимости серого тела (\(E_g\)) в заданном интервале длин волн, мы можем использовать следующее соотношение:

\[E_g = \frac{{A \cdot c \cdot M}}{{L \cdot \alpha}}\]

Так как задача говорит, что температура и коэффициент поглощения серого и черного тела одинаковы в данном интервале длин волн, мы можем сделать вывод, что спектральная плотность энергетической светимости серого тела (\(E_g\)) также будет равна \(E_b\), т.е.:

\[E_g = E_b\]

Теперь, подставляя значение \(E_b = 3 \times 10^4 \, \text{Вт/(м}^2\cdot \text{нм)}\) в уравнение, мы получим окончательный ответ. Давайте это сделаем:

\[E_g = E_b = 3 \times 10^4 \, \text{Вт/(м}^2\cdot \text{нм)}\]

Таким образом, спектральная плотность энергетической светимости серого тела с такой же температурой и коэффициентом поглощения, в данном интервале длин волн, составляет \(3 \times 10^4 \, \text{Вт/(м}^2\cdot \text{нм)}\).