Какова скорость точки движущейся по окружности радиусом 1м в некоторый момент времени, если ее тангенциальное ускорение

Чтобы найти скорость точки движущейся по окружности, мы будем использовать следующие формулы:

1. Мы знаем, что тангенциальное ускорение представляет собой скорость изменения тангенциальной скорости, и оно определяется следующей формулой:
\[a_t = \frac{{dv_t}}{{dt}}\]
где \(a_t\) - тангенциальное ускорение, \(dv_t\) - изменение тангенциальной скорости, \(dt\) - изменение времени.

2. Мы также знаем, что полное ускорение представляет собой векторную сумму тангенциального и радиального ускорений и может быть выражено следующей формулой:
\[a = \sqrt{{a_t^2 + a_r^2}}\]
где \(a\) - полное ускорение, \(a_r\) - радиальное ускорение.

3. Радиальное ускорение, в свою очередь, представляет собой изменение направления движения точки без изменения ее скорости и оно определяется следующей формулой:
\[a_r = \frac{{v_t^2}}{{r}}\]
где \(a_r\) - радиальное ускорение, \(v_t\) - тангенциальная скорость, \(r\) - радиус окружности.

Теперь давайте решим задачу по шагам:

Шаг 1: Найдем радиальное ускорение.
Используя формулу \(a_r = \frac{{v_t^2}}{{r}}\), подставим известные значения:
\[a_r = \frac{{v_t^2}}{{1}} = v_t^2\]

Шаг 2: Найдем скорость тангенциальную.
Используя формулу \(a_t = \frac{{dv_t}}{{dt}}\), мы можем записать это как:
\[dv_t = a_t \cdot dt\]

Шаг 3: Проинтегрируем обе части уравнения:
\[\int{dv_t} = \int{a_t \cdot dt}\]
\[\int{dv_t} = \int{3 \, м/с^2 \cdot dt}\]
\[v_t = 3t + C\]
где \(C\) - постоянная интегрирования.

Шаг 4: Применим начальное условие. Мы знаем, что при \(t = 0\), \(v_t = 0\), так как скорость точки равна нулю в начальный момент времени. Подставляем эти значения в уравнение:
\[0 = 3 \cdot 0 + C\]
\[C = 0\]

Шаг 5: Теперь мы знаем, что \(C = 0\), подставляем эту константу обратно в уравнение для \(v_t\):
\[v_t = 3t\]

Таким образом, тангенциальная скорость точки равна \(v_t = 3t\) м/с.

Шаг 6: Теперь найдем полное ускорение, используя формулу \(a = \sqrt{{a_t^2 + a_r^2}}\). Подставляем значения и находим \(a\):
\[a = \sqrt{{(3)^2 + (v_t)^2}}\]
\[a = \sqrt{{9 + 9t^2}}\]

Шаг 7: Теперь у нас есть формула для полного ускорения \(a\). Найдем его значение в некоторый момент времени \(t\). Подставляем \(t = 0\) и находим \(a\) в начальный момент времени:
\[a = \sqrt{{9 + 9 \cdot 0^2}}\]
\[a = \sqrt{{9}}\]
\[a = 3\, м/с^2\]

Итак, скорость точки движущейся по окружности в некоторый момент времени равна \(v_t = 3t\) м/с, и полное ускорение составляет \(a = 3\, м/с^2\)