Какова скорость тележки, когда мальчик массой 40 кг бежит со скоростью 4 м/с и прыгает на нее, тележка имеет массу

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и механической энергии.

Сначала посмотрим на закон сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов до и после столкновения должна оставаться неизменной.

Импульс (p) определяется как произведение массы (m) на скорость (v), то есть \(p = m \cdot v\).

Для мальчика импульс до столкновения равен \( p_1 = m_1 \cdot v_1 = 40 \, \text{кг} \cdot 4 \, \text{м/с} = 160 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \).

Для тележки импульс до столкновения равен \( p_2 = m_2 \cdot v_2 = 20 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{м/с} = 20 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \).

После столкновения импульс тележки и мальчика складываются, поэтому сумма импульсов после столкновения должна быть равна импульсу до столкновения: \( p_{1"} + p_{2"} = p_1 + p_2 \).

Обозначим скорость тележки после столкновения как \( v_{2"} \).

Теперь рассмотрим закон сохранения механической энергии. Мы можем использовать формулу для кинетической энергии (K), которая определяется как половина произведения массы на квадрат скорости:

\[ K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Для мальчика кинетическая энергия до столкновения равна \( K_1 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \, \text{кг} \cdot (4 \, \text{м/с})^2 = 320 \, \text{Дж} \).

Для тележки кинетическая энергия до столкновения равна \( K_2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м/с})^2 = 10 \, \text{Дж} \).

После столкновения мальчик и тележка двигаются с общей скоростью, поэтому сумма их кинетических энергий после столкновения должна быть равна сумме кинетических энергий до столкновения: \( K_{1"} + K_{2"} = K_1 + K_2 \).

Обозначим скорость тележки после столкновения как \( v_{2"} \).

Теперь у нас есть два уравнения, включающих импульсы и кинетические энергии до и после столкновения. Решим эту систему уравнений:

\[
\begin{align*}
p_{1"} + p_{2"} &= p_1 + p_2 \\
m_1 \cdot v_{1"} + m_2 \cdot v_{2"} &= m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \\
m_1 \cdot v_{1"} &= m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 - m_2 \cdot v_{2"} \\
40 \, \text{кг} \cdot v_{1"} &= 40 \, \text{кг} \cdot 4 \, \text{м/с} + 20 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{м/с} - 20 \, \text{кг} \cdot v_{2"} \\
40 \, \text{кг} \cdot v_{1"} &= 160 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} + 20 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} - 20 \, \text{кг} \cdot v_{2"} \\
40 \, \text{кг} \cdot v_{1"} + 20 \, \text{кг} \cdot v_{2"} &= 180 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим уравнение для кинетической энергии:

\[
K_{1"} + K_{2"} = K_1 + K_2
\]

Используем формулы для кинетической энергии:

\[
\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot (v_{1"}^2) + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot (v_{2"}^2) = 320 \, \text{Дж} + 10 \, \text{Дж}
\]

Поскольку мальчик прыгает на неподвижную тележку, скорость тележки должна быть равна скорости мальчика после столкновения: \( v_{2"} = v_{1"} \).

Подставим \( v_{2"} = v_{1"} \) в первое уравнение:

\[
40 \, \text{кг} \cdot v_{1"} + 20 \, \text{кг} \cdot v_{1"} = 180 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
\]

Сократим коэффициенты:

\[
60 \, \text{кг} \cdot v_{1"} = 180 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
\]

Разделим обе части уравнения на 60 \(\text{кг}\):

\[
v_{1"} = \frac{180 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{60 \, \text{кг}} = 3 \, \text{м/с}
\]

Таким образом, скорость тележки после столкновения равна 3 м/с.