Какова скорость, с которой электроны влетели в конденсатор, если известно, что они отклонились на расстояние х=3мм

Для начала, давайте воспользуемся формулой для потенциальной энергии электрического поля конденсатора:

\[U = \frac{1}{2} C V^2\]

где \(U\) - потенциальная энергия, \(C\) - ёмкость конденсатора, \(V\) - разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Мы можем переписать эту формулу, используя известные значения:

\[U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}\]

Объединим эти две формулы и избавимся от неизвестной ёмкости:

\[V = \frac{Q}{C}\]

Отсюда можно выразить заряд \(Q\):

\[Q = C \cdot V\]

Теперь, воспользуемся формулой для кинетической энергии:

\[K = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(K\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса электрона, \(v\) - скорость электрона.

Мы можем выразить массу электрона через его заряд:

\[m = \frac{Q}{e}\]

где \(e\) - элементарный заряд.

Теперь, воспользуемся описанием задачи и формулой скорости:

\[v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

где \(\Delta x\) - расстояние, на которое отклонились электроны, а \(\Delta t\) - время полёта в конденсаторе.

Теперь мы готовы решить задачу:

Шаг 1: Выразим заряд \(Q\) через ёмкость \(C\) и разность потенциалов \(V\):

\[Q = C \cdot V\]

Шаг 2: Выразим массу электрона \(m\) через заряд \(Q\) и элементарный заряд \(e\):

\[m = \frac{Q}{e}\]

Шаг 3: Выразим скорость \(v\) через расстояние \(\Delta x\) и время полёта \(\Delta t\):

\[v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

Теперь, подставим известные значения и решим задачу:

Дано:
\(\Delta x = 3 \, \text{мм}\)
\(l = 5 \, \text{см}\)
\(d = 3 \, \text{см}\)
\(u = 700 \, \text{В}\)
\(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл}\)

Решение:

Шаг 1: Выразим ёмкость \(C\) через длину \(l\) и расстояние \(d\) между пластинами:

\[C = \frac{\varepsilon_0 \cdot l}{d}\]

Где \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная, равная \(8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\).

Подставим значения и рассчитаем \(C\):

\[C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot 0.05 \, \text{м}}{0.03 \, \text{м}} = 1.475 \times 10^{-11} \, \text{Ф}\]

Шаг 2: Выразим разность потенциалов \(V\) через разность потенциалов между пластинами:

\[V = u\]

Подставим значение и рассчитаем \(V\):

\[V = 700 \, \text{В}\]

Шаг 3: Рассчитаем заряд \(Q\) через ёмкость \(C\) и разность потенциалов \(V\):

\[Q = C \cdot V = 1.475 \times 10^{-11} \, \text{Ф} \cdot 700 \, \text{В} = 1.0325 \times 10^{-8} \, \text{Кл}\]

Шаг 4: Рассчитаем массу электрона \(m\) через заряд \(Q\) и элементарный заряд \(e\):

\[m = \frac{Q}{e} = \frac{1.0325 \times 10^{-8} \, \text{Кл}}{1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл}} = 6.455 \times 10^{10} \, \text{электронвольт/сек}^2\]

Шаг 5: Рассчитаем скорость \(v\) через расстояние \(\Delta x\) и время полёта \(\Delta t\):

\[v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0.003 \, \text{м}}{\Delta t}\]

Мы не знаем точное значение времени полёта \(\Delta t\), поэтому мы не можем вычислить точную скорость. Однако, мы можем выразить скорость через известные значения.

Шаг 6: Выразим время полёта \(\Delta t\) через длину конденсатора \(l\) и скорость \(v\):

\(\Delta t = \frac{l}{v}\)

Подставим значения и рассчитаем \(\Delta t\):

\(\Delta t = \frac{0.05 \, \text{м}}{\frac{0.003 \, \text{м}}{\Delta t}} = \frac{0.05 \, \text{м} \cdot \Delta t}{0.003 \, \text{м}} = \frac{500 \, \Delta t}{3} \, \text{с}\)

Шаг 7: Подставим выражение для \(\Delta t\) в формулу для скорости \(v\):

\(v = \frac{0.003 \, \text{м}}{\frac{500 \, \Delta t}{3} \, \text{с}} = \frac{0.003 \, \text{м} \cdot 3}{500 \, \Delta t} \, \text{м/с}\)

Заключение:

Мы получили выражение для скорости \(v\) через неизвестное время полёта \(\Delta t\). Мы не можем определить точное значение скорости без знания времени полёта. Однако, решение задачи позволяет понять, какими величинами нужно ориентироваться при решении подобных задач. Результат можно подставить в формулу для кинетической энергии, чтобы получить окончательный ответ:

\[K = \frac{1}{2} m v^2\]