Какова скорость изменения заряда (dq/dt) каждого из шариков в момент времени, когда угол j равен 5 градусам?

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Кулона, который связывает силу притяжения между двумя заряженными частицами с величиной зарядов и расстоянием между ними.

Закон Кулона формулируется следующим образом:

\[ F = \frac{{k \cdot |q1 \cdot q2|}}{{r^2}} \]

где F - сила взаимодействия между шариками,
q1 и q2 - заряды шариков,
r - расстояние между шариками,
k - постоянная Кулона.

Так как шарики имеют одинаковый заряд и находятся на одном уровне, мы можем предположить, что сила между ними направлена по линии их сближения и равна по модулю для обоих шариков.

Таким образом, сила взаимодействия между шариками, представленная вектором, имеет следующий вид:

\[ \vec{F} = \frac{{k \cdot q^2}}{{r^2}} \cdot \vec{e_r} \]

где q - заряд шариков,
\( \vec{e_r} \) - единичный радиус-вектор, направленный от одного шарика к другому.

Из геометрии задачи, мы знаем, что углы, образованные малыми углами нитей с вертикалью, равны углу между нитями. Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

\[ \sin(j) = \frac{{r}}{{L}} \]

где j - угол между нитями,
r - расстояние между шариками,
L - длина нити.

Мы также имеем информацию о постоянной скорости сближения шариков, которая составляет 0.55 мм/c, что равно \(0.55 \cdot 10^{-3} \) м/с.

\[ \frac{{dr}}{{dt}} = -0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с \]

Теперь мы можем приступить к детальному решению задачи:

1. Найдем величину L, используя геометрические соотношения:
\[ r = L \cdot \sin(j) \]
\[ L = \frac{{r}}{{\sin(j)}} \]

2. Найдем производную величины r по времени:
\[ \frac{{dr}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left( L \cdot \sin(j) \right) \]
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:
\[ \frac{{dr}}{{dt}} = \frac{{dL}}{{dt}} \cdot \sin(j) + L \cdot \cos(j) \cdot \frac{{dj}}{{dt}} \]
Так как угол j постоянный, его производная \( \frac{{dj}}{{dt}} \) равна нулю, следовательно:
\[ \frac{{dr}}{{dt}} = \frac{{dL}}{{dt}} \cdot \sin(j) \]

3. Подставим значение скорости сближения:
\[ \frac{{dr}}{{dt}} = -0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с \]
\[ \frac{{dL}}{{dt}} \cdot \sin(j) = -0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с \]

4. Найдем производную величины L по времени:
\[ \frac{{dL}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{dt}} \cdot \frac{{1}}{{\sin(j)}} \]
Подставим найденное значение dr/dt и значение угла j:
\[ \frac{{dL}}{{dt}} = (-0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с) \cdot \frac{{1}}{{\sin(5^\circ)}} \]

5. Наконец, найдем скорость изменения заряда (dq/dt) каждого из шариков:
Воспользуемся законом Кулона:
\[ F = \frac{{k \cdot q^2}}{{r^2}} \]
Продифференцируем обе части уравнения по времени:
\[ \frac{{dF}}{{dt}} = \frac{{2 \cdot k \cdot q}}{{r^2}} \cdot \frac{{dq}}{{dt}} \]
Так как сила взаимодействия между шариками направлена по линии их сближения, скорость изменения заряда является отрицательной, так как заряд убывает:
\[ \frac{{dq}}{{dt}} = -\frac{{dF}}{{dt}} \cdot \frac{{r^2}}{{2 \cdot k \cdot q}} \]

Подставим значения полученной производной силы и найденных из предыдущих шагов значений r и \( \frac{{dq}}{{dt}} \):
\[ \frac{{dq}}{{dt}} = -\frac{{dL}}{{dt}} \cdot \frac{{r^2}}{{2 \cdot k \cdot q}} \]
\[ \frac{{dq}}{{dt}} = -(-0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с) \cdot \frac{{(L \cdot \sin(j))^2}}{{2 \cdot k \cdot q}} \]
\[ \frac{{dq}}{{dt}} = 0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с \cdot \frac{{(L \cdot \sin(j))^2}}{{2 \cdot k \cdot q}} \]

Таким образом, скорость изменения заряда (dq/dt) каждого из шариков в момент времени, когда угол j равен 5 градусам, составляет \(0.55 \cdot 10^{-3} \ м/с \cdot \frac{{(L \cdot \sin(5^\circ))^2}}{{2 \cdot k \cdot q}} \).