Какова сила тока в обмотке соленоида, если на отрезок проводника приложена сила 10⁻⁵ н, и на каждый сантиметр длины соленоида приходится 10 витков, при отсутствии сердечника?
Aleksey
Для решения этой задачи, мы будем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет нам вычислить магнитное поле от тока, протекающего через соленоид.
Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(\mathbf{B}\), созданное током \(I\) через элемент длины \(ds\) проводника, пропорционально величине тока, длине элемента проводника и синусу угла \(\theta\) между вектором \(\mathbf{r}\) (от элемента проводника до точки, где мы измеряем поле) и вектором \(d\mathbf{s}\). Математически это выглядит следующим образом:
\[d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\mathbf{s} \times \mathbf{r}}{r^3}\]
Здесь \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)), \(d\mathbf{s}\) - вектор, направленный вдоль элемента длины проводника, \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор, проведенный от элемента проводника до точки, где мы измеряем поле, а символ \(\times\) означает векторное произведение.
В нашем случае соленоид представляет собой набор витков, и мы можем считать каждый виток как маленький отрезок проводника. Таким образом, мы можем переформулировать задачу и найти магнитное поле от каждого отрезка проводника, а затем просуммировать все эти поля, чтобы получить общее магнитное поле от всего соленоида.
Давайте рассмотрим отрезок проводника длиной \(dl\) внутри соленоида. Двигаясь по этому отрезку в направлении силы тока, мы видим, что вектор \(d\mathbf{s}\) будет направлен против силы тока. Также радиус-вектор \(\mathbf{r}\) будет перпендикулярен плоскости проводника и будет направлен по касательной к окружности, образуемой витками соленоида в данной точке.
В данной задаче силу, приложенную к отрезку проводника, мы предположим параллельной оси соленоида, поэтому угол \(\theta\) будет равен \(90^\circ\).
Теперь, чтобы вычислить силу тока в обмотке соленоида, мы можем интегрировать магнитные поля от каждого отрезка проводника.
Интегрируя, мы получаем:
\[\mathbf{B} = \int d\mathbf{B} = \int \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\mathbf{s} \times \mathbf{r}}{r^3}\]
Учитывая, что длина отрезка проводника \(dl\) и радиус-вектор \(\mathbf{r}\) в данном случае не зависят от интегрирования, мы можем вынести их за знак интеграла:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int d\mathbf{s} \times \mathbf{r}\]
Теперь мы можем заменить векторное произведение \(d\mathbf{s} \times \mathbf{r}\) на произведение модулей и синуса угла между ними:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int |d\mathbf{s}| |\mathbf{r}| \sin \theta\]
Так как синус угла \(\theta\) равен 1 в данном случае, мы можем упростить выражение:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int |d\mathbf{s}| |\mathbf{r}|\]
Теперь давайте рассмотрим геометрию соленоида. У нас есть 10 витков на каждый сантиметр длины соленоида, поэтому виток имеет длину 1 сантиметр. Используя эту информацию, мы можем выразить \(|\mathbf{r}|\) в функции от \(|\mathbf{s}|\).
Так как каждый виток соленоида эквидистантен, то \(|\mathbf{r}|\) будет постоянным и равным радиусу соленоида \(r\).
Тогда можно записать:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int |d\mathbf{s}| r\]
Учитывая, что длина отрезка проводника \(dl\) равна 1 сантиметру, а сила, приложенная к отрезку проводника, равна \(10^{-5}\) Ньютонам, мы получаем:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi \cdot 0.01 \, \text{м} \cdot r^3} \int |d\mathbf{s}| r\]
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^3} \int |d\mathbf{s}| r\]
Элемент длины провода \(|d\mathbf{s}|\) равен длине элемента проводника \(dl\) в нашем случае, поэтому мы можем записать:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^3} \int dl \cdot r\]
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^3} \cdot r \int dl\]
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^2} \int dl\]
Интеграл \(\int dl\) представляет собой сумму длин всех отрезков проводника, то есть длину проводника в целом. Обозначим длину соленоида \(L\). Тогда:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^2} \cdot L\]
Итак, наша формула для вычисления магнитного поля соленоида без сердечника будет выглядеть следующим образом:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I L}{0.04\pi r^2}\]
Теперь мы можем подставить значения:
\[\mathbf{B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot 10^{-5} \, \text{Н} \cdot 1 \, \text{см}}{0.04\pi \cdot r^2}\]
\[\mathbf{B} = \frac{4 \times 10^{-12} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot \text{Н} \cdot \text{см}}{0.04r^2}\]
\[2.5 \times 10^{-10} \frac{\text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot \text{Н} \cdot \text{см}}{r^2}\]
Таким образом, сила тока в обмотке соленоида будет равна \(2.5 \times 10^{-10}/r^2\) Ампер.
Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(\mathbf{B}\), созданное током \(I\) через элемент длины \(ds\) проводника, пропорционально величине тока, длине элемента проводника и синусу угла \(\theta\) между вектором \(\mathbf{r}\) (от элемента проводника до точки, где мы измеряем поле) и вектором \(d\mathbf{s}\). Математически это выглядит следующим образом:
\[d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\mathbf{s} \times \mathbf{r}}{r^3}\]
Здесь \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А}\)), \(d\mathbf{s}\) - вектор, направленный вдоль элемента длины проводника, \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор, проведенный от элемента проводника до точки, где мы измеряем поле, а символ \(\times\) означает векторное произведение.
В нашем случае соленоид представляет собой набор витков, и мы можем считать каждый виток как маленький отрезок проводника. Таким образом, мы можем переформулировать задачу и найти магнитное поле от каждого отрезка проводника, а затем просуммировать все эти поля, чтобы получить общее магнитное поле от всего соленоида.
Давайте рассмотрим отрезок проводника длиной \(dl\) внутри соленоида. Двигаясь по этому отрезку в направлении силы тока, мы видим, что вектор \(d\mathbf{s}\) будет направлен против силы тока. Также радиус-вектор \(\mathbf{r}\) будет перпендикулярен плоскости проводника и будет направлен по касательной к окружности, образуемой витками соленоида в данной точке.
В данной задаче силу, приложенную к отрезку проводника, мы предположим параллельной оси соленоида, поэтому угол \(\theta\) будет равен \(90^\circ\).
Теперь, чтобы вычислить силу тока в обмотке соленоида, мы можем интегрировать магнитные поля от каждого отрезка проводника.
Интегрируя, мы получаем:
\[\mathbf{B} = \int d\mathbf{B} = \int \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\mathbf{s} \times \mathbf{r}}{r^3}\]
Учитывая, что длина отрезка проводника \(dl\) и радиус-вектор \(\mathbf{r}\) в данном случае не зависят от интегрирования, мы можем вынести их за знак интеграла:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int d\mathbf{s} \times \mathbf{r}\]
Теперь мы можем заменить векторное произведение \(d\mathbf{s} \times \mathbf{r}\) на произведение модулей и синуса угла между ними:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int |d\mathbf{s}| |\mathbf{r}| \sin \theta\]
Так как синус угла \(\theta\) равен 1 в данном случае, мы можем упростить выражение:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int |d\mathbf{s}| |\mathbf{r}|\]
Теперь давайте рассмотрим геометрию соленоида. У нас есть 10 витков на каждый сантиметр длины соленоида, поэтому виток имеет длину 1 сантиметр. Используя эту информацию, мы можем выразить \(|\mathbf{r}|\) в функции от \(|\mathbf{s}|\).
Так как каждый виток соленоида эквидистантен, то \(|\mathbf{r}|\) будет постоянным и равным радиусу соленоида \(r\).
Тогда можно записать:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi dl r^3} \int |d\mathbf{s}| r\]
Учитывая, что длина отрезка проводника \(dl\) равна 1 сантиметру, а сила, приложенная к отрезку проводника, равна \(10^{-5}\) Ньютонам, мы получаем:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi \cdot 0.01 \, \text{м} \cdot r^3} \int |d\mathbf{s}| r\]
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^3} \int |d\mathbf{s}| r\]
Элемент длины провода \(|d\mathbf{s}|\) равен длине элемента проводника \(dl\) в нашем случае, поэтому мы можем записать:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^3} \int dl \cdot r\]
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^3} \cdot r \int dl\]
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^2} \int dl\]
Интеграл \(\int dl\) представляет собой сумму длин всех отрезков проводника, то есть длину проводника в целом. Обозначим длину соленоида \(L\). Тогда:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{0.04\pi r^2} \cdot L\]
Итак, наша формула для вычисления магнитного поля соленоида без сердечника будет выглядеть следующим образом:
\[\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I L}{0.04\pi r^2}\]
Теперь мы можем подставить значения:
\[\mathbf{B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot 10^{-5} \, \text{Н} \cdot 1 \, \text{см}}{0.04\pi \cdot r^2}\]
\[\mathbf{B} = \frac{4 \times 10^{-12} \, \text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot \text{Н} \cdot \text{см}}{0.04r^2}\]
\[2.5 \times 10^{-10} \frac{\text{Тл} \cdot \text{м/А} \cdot \text{Н} \cdot \text{см}}{r^2}\]
Таким образом, сила тока в обмотке соленоида будет равна \(2.5 \times 10^{-10}/r^2\) Ампер.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
