Какова ширина реки, если два катера стартуют одновременно и плывут навстречу друг другу? В первый раз они встречаются

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать информацию о расстоянии, скорости и времени. Давайте разберемся шаг за шагом.

Пусть \(x\) обозначает ширину реки в метрах.

1. В первый раз, когда катера встречаются в 40 метрах от левого берега, мы можем составить уравнение, исходя из того, что каждый катер плывет равное время:
Расстояние, пройденное первым катером = Расстояние, пройденное вторым катером
\((40 + x) = (30 + x)\)
Здесь мы добавляем \(x\), потому что второй катер еще не дошел до правого берега.

2. Теперь, когда катера разворачиваются и начинают плыть друг к другу снова, они встречаются в 30 метрах от правого берега. Мы можем составить еще одно уравнение, исходя из равенства времени:
Время, потраченное первым катером = Время, потраченное вторым катером
\(\frac{{30}}{{v_1}} = \frac{{30}}{{v_2}}\)
Здесь \(v_1\) обозначает скорость первого катера, а \(v_2\) — скорость второго катера.

3. Однако мы также знаем, что расстояния и скорости связаны формулой \(v = \frac{{s}}{{t}}\), где \(v\) — скорость, \(s\) — расстояние и \(t\) — время.
В первом случае мы можем записать это уравнение для первого катера:
\(v_1 = \frac{{40 + x}}{{t_1}}\)
Аналогично для второго катера:
\(v_2 = \frac{{x}}{{t_2}}\)

4. Теперь, если мы знаем, что время и расстояние обратно пропорциональны, то можем записать уравнение:
\(t_1 = \frac{{x}}{{v_1}}\)
\(t_2 = \frac{{40 + x}}{{v_2}}\)

5. Мы можем подставить уравнения времени во второе уравнение равенства времени:
\(\frac{{x}}{{v_1}} = \frac{{40 + x}}{{v_2}}\)

6. Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\). Умножим обе стороны на \(v_1 v_2\):
\(x v_2 = (40 + x) v_1\)

7. Раскроем скобки и упростим уравнение:
\(x v_2 = 40 v_1 + x v_1\)
\(x (v_2 - v_1) = 40 v_1\)

8. Из уравнения \(\frac{{30}}{{v_1}} = \frac{{30}}{{v_2}}\) мы можем выразить \(v_1\) через \(v_2\):
\(v_1 = v_2\)

9. Тогда уравнение становится:
\(x (v_2 - v_2) = 40 v_2\)
\(0 = 40 v_2\)

10. Отсюда следует, что \(v_2\) должно быть равно нулю. Но это невозможно, так как мы предполагаем, что катера движутся. Значит, мы получаем интересное следствие: расстояние между катерами не зависит от ширины реки. Катера встречаются в 40 метрах от левого берега и в 30 метрах от правого берега вне зависимости от ширины реки.

Итак, ответ на задачу: Ширина реки не влияет на точку встречи катеров. Они встретятся в 40 метрах от левого берега и в 30 метрах от правого берега.