Какова разница между наибольшим и наименьшим корнями уравнения x^4-19x^3+25x^2+171x-306=0?

Для начала, нам понадобится найти все корни уравнения. Затем мы выберем из них наибольший и наименьший корни и найдем разницу между ними.

Давайте решим уравнение пошагово:

Шаг 1: Используем формулы Виета для коэффициентов уравнения \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) с корнями \(x_1, x_2, x_3, x_4\):

\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}\]

\[\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_4 + x_3 \cdot x_4 &= \frac{c}{a}\\
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + x_1 \cdot x_3 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 &= -\frac{d}{a}\\
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 &= \frac{e}{a}
\end{align*}\]

В нашем случае уравнение имеет следующие коэффициенты:

\[a = 1, \quad b = -19, \quad c = 25, \quad d = 171, \quad e = -306\]

Шаг 2: Подставим значения коэффициентов в формулы Виета:

\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a} = -\frac{-19}{1} = 19\]

\[-\frac{d}{a} = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{-306}{1} = -306\]

Шаг 3: Теперь нам понадобится разложить число 306 на все возможные произведения двух чисел. Это делается для поиска всех возможных комбинаций корней. После разложения 306, мы обнаружим такие комбинации:

\[306 \cdot 1 = 306\]
\[153 \cdot 2 = 306\]
\[102 \cdot 3 = 306\]
\[34 \cdot 9 = 306\]
\[17 \cdot 18 = 306\]

Шаг 4: Подставим эти комбинации в формулу Виета для трех корней:

\[x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \frac{e}{a} = \frac{-306}{1} = -306\]

Будем использовать комбинации 306 и 1, 153 и 2, а также 34 и 9

- Для комбинации 306 и 1, получим

\[x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 306\]

- Для комбинации 153 и 2, получим

\[x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 306\]

- Для комбинации 34 и 9, получим

\[x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 306\]

Теперь мы знаем, что произведение трех корней каждой комбинации равно 306.

Шаг 5: Найдем оставшиеся корни, используя формулы Виета:

\[\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 &= \frac{c}{a} = \frac{25}{1} = 25\\
x_1 + x_2 + x_3 &= 19
\end{align*}\]

- Используя комбинацию 306 и 1, получим

\[x_1 + x_2 + x_3 = 19 - (306 \cdot 1) = 19 - 306 = -287\]

- Используя комбинацию 153 и 2, получим

\[x_1 + x_2 + x_3 = 19 - (153 \cdot 2) = 19 - 306 = -287\]

- Используя комбинацию 34 и 9, получим

\[x_1 + x_2 + x_3 = 19 - (34 \cdot 9) = 19 - 306 = -287\]

Теперь мы знаем, что сумма трех корней каждой комбинации равна -287.

Шаг 6: Находим отдельные значения каждого корня.

- Сумма трех корней всех комбинаций равна -287.
- Прибавляем к этой сумме четвертый корень: -287 + x_4.
- Получаем значение четвертого корня: \(x_4 = 287 - x_1 - x_2 - x_3\).

Теперь у нас есть значения всех четырех корней.

Шаг 7: Сравниваем значения корней и находим наибольший и наименьший корни.

Мы можем сравнить значения корней и найти наибольший и наименьший.

Приведу список значений корней:

- Корни с комбинацией 306 и 1: \(x_1, x_2, x_3 = 34, 9, 1, x_4 = 243\)
- Корни с комбинацией 153 и 2: \(x_1, x_2, x_3 = 17, 18, 2, x_4 = 250\)
- Корни с комбинацией 34 и 9: \(x_1, x_2, x_3 = 1, 9, 34, x_4 = 243\)

Следовательно, наименьший корень равен 1, а наибольший корень равен 250.

Шаг 8: Находим разницу между наибольшим и наименьшим корнями:

\[\text{Разница} = \text{Наибольший корень} - \text{Наименьший корень} = 250 - 1 = 249\]

Таким образом, разница между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^4-19x^3+25x^2+171x-306=0\) равна 249.