Какова работа, совершенная силой F(x)=6x^2+4x-2 при переносе единичной массы на участке [-1;2]?

Конечно! Для решения этой задачи сначала нам необходимо вычислить работу силы F(x), совершаемую при переносе единичной массы на указанном участке [-1;2]. Для этого мы воспользуемся формулой для работы силы.

Формула работы силы (работа силы) выглядит следующим образом:
\[W = \int_{a}^{b} F(x)dx\]

где W - работа силы, F(x) - функция силы, a и b - начальная и конечная точки участка, на котором происходит совершение работы.

Используя данную формулу и функцию силы F(x)=6x^2+4x-2, мы можем вычислить работу следующим образом:

\[W = \int_{-1}^{2} (6x^2+4x-2)dx\]

Чтобы вычислить этот интеграл, нам понадобится знание о правилах интегрирования полиномов.

Сначала раскроем скобки внутри интеграла:

\[W = \int_{-1}^{2} (6x^2+4x-2)dx = \int_{-1}^{2} 6x^2dx + \int_{-1}^{2} 4xdx - \int_{-1}^{2} 2dx\]

Теперь приступим к интегрированию. Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому мы можем вычислить каждый из трех интегралов отдельно.

Интеграл первого слагаемого \(\int_{-1}^{2} 6x^2dx\) можно вычислить, используя формулу интегрирования для степенной функции:

\(\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\)

где n - степень x, а C - постоянная интегрирования. Применив эту формулу к первому слагаемому, получим:

\(\int_{-1}^{2} 6x^2dx = \frac{{6x^3}}{3} \bigg|_{-1}^{2} = 2x^3 \bigg|_{-1}^{2} = 2(2^3) - 2(-1)^3 = 16 - 2 = 14\)

Теперь вычислим интеграл второго слагаемого \(\int_{-1}^{2} 4xdx\):

\(\int_{-1}^{2} 4xdx = 2x^2 \bigg|_{-1}^{2} = 2(2^2) - 2(-1)^2 = 8 - 2 = 6\)

Наконец, интеграл третьего слагаемого \(\int_{-1}^{2} 2dx\):

\(\int_{-1}^{2} 2dx = 2x \bigg|_{-1}^{2} = 2(2) - 2(-1) = 4 + 2 = 6\)

Теперь сложим все три интеграла, чтобы найти общую работу силы:

\[W = 14 + 6 - 6 = 14\]

Таким образом, работа, совершенная силой F(x)=6x^2+4x-2 при переносе единичной массы на участке [-1;2], равна 14.

Ответ: Работа, совершенная силой F(x)=6x^2+4x-2 при переносе единичной массы на участке [-1;2], равна 14.