Какова прямая линия пересечения плоскостей AB1C1 и АBB1 в изображении куба ABCDA1B1C1D1 на рисунке 97? Включите

Для решения данной задачи, нам необходимо разобраться с обозначениями и структурой куба.

Начнем с обозначений вершин куба: вершины A, B, C, D образуют основание куба, вершины A1, B1, C1 и D1 -- вершины верхней грани куба.

Теперь обратимся к обозначению плоскостей. Плоскость AB1C1 проходит через вершины A, B и C1, а плоскость ABB1 -- через вершины A, B и B1. Находим прямую линию пересечения этих плоскостей.

Для начала найдем уравнения данных плоскостей. Найдем векторы, лежащие в данных плоскостях:

Для плоскости AB1C1:
Вектор AB1: \(\vec{AB1} = \vec{B1} - \vec{A} = \vec{B1} - \vec{A1}\)
Вектор AC1: \(\vec{AC1} = \vec{C1} - \vec{A}\)

Уравнение плоскости AB1C1 будет иметь вид: \(ax + by + cz + d = 0\), где (a, b, c) -- нормальный вектор плоскости, а d -- свободный член. Для нахождения коэффициентов a, b, c и d раскроем скобки в уравнении плоскости и подставим векторы AB1 и AC1:

\((ax + by + cz) + (aA + bA1 + cC1) = 0\)

Так как векторы AB1 и AC1 лежат в плоскости, то их скалярное произведение с нормальным вектором будет равно нулю:

\(\vec{AB1} \cdot \vec{N} = \vec{AC1} \cdot \vec{N} = 0\)

Где \(\vec{N} = (a, b, c)\) -- нормальный вектор плоскости AB1C1.

Подставим векторы AB1 и AC1 в уравнение и получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
a(A_x - B1_x) + b(A_y - B1_y) + c(A_z - B1_z) = 0 \\
a(A_x - C1_x) + b(A_y - C1_y) + c(A_z - C1_z) = 0
\end{cases}
\]

Аналогично, найдем уравнение плоскости ABB1:

\[
\begin{cases}
a(A_x - B_x) + b(A_y - B_y) + c(A_z - B_z) = 0 \\
a(A_x - B1_x) + b(A_y - B1_y) + c(A_z - B1_z) = 0
\end{cases}
\]

После нахождения коэффициентов a, b, c и d для обеих плоскостей, найдем пересечение прямых. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений плоскостей.

Таким образом, мы определим прямую линию пересечения плоскостей AB1C1 и ABB1 в изображении куба ABCDA1B1C1D1 на рисунке 97.