Какова полная механическая энергия мяча в наивысшей точке его траектории, если его масса равна 300 г, он брошен

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии. Полная механическая энергия мяча в наивысшей точке его траектории будет равна сумме его потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия мяча в наивысшей точке равна энергии, которую он приобрёл в результате подъема. Она определяется формулой:

\[P = m \cdot g \cdot h\]

где \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота подъема.

Кинетическая энергия мяча в наивысшей точке равна нулю, так как мяч временно останавливается в этой точке. Кинетическая энергия выражается формулой:

\[К = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

где \(v\) - скорость мяча в наивысшей точке.

Начнем с вычисления потенциальной энергии мяча. Масса мяча \(m\) равна 300 г, что составляет 0,3 кг. Ускорение свободного падения \(g\) приближенно равно 9,8 м/с². Так как мяч находится в наивысшей точке, его высота подъема \(h\) также равна максимальной высоте достигнутой мячом на траектории.

Для вычисления высоты подъема нам понадобится горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости. Горизонтальная составляющая определяется по формуле:

\[v_x = v \cdot \cos(\alpha)\]

где \(v\) - начальная скорость, а \(\alpha\) - угол под которым был брошен мяч.

Вертикальная составляющая начальной скорости определяется по формуле:

\[v_у = v \cdot \sin(\alpha)\]

Теперь мы можем вычислить время достижения максимальной высоты, используя вертикальную составляющую начальной скорости и ускорение свободного падения:

\[t = \frac{v_у}{g}\]

Так как время подъема равно времени спуска, мы можем умножить его на 2, чтобы получить полное время полета мяча.

\[t_{\text{полета}} = 2t\]

Теперь мы можем вычислить высоту подъема, используя временной интервал и вертикальную составляющую начальной скорости:

\[h = v_у \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения этой задачи. Давайте подставим значения и рассчитаем полную механическую энергию мяча в наивысшей точке его траектории.

Высота подъема мяча:
\[v_x = 20 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[v_у = 20 \cdot \sin(60^\circ)\]
\[t = \frac{v_у}{g}\]
\[t_{\text{полета}} = 2t\]
\[h = v_у \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

Подставим значения:
\[v_x = 20 \cdot \cos(60^\circ) \approx 10 \, \text{м/с}\]
\[v_у = 20 \cdot \sin(60^\circ) \approx 17,32 \, \text{м/с}\]
\[t = \frac{17,32}{9,8} \approx 1,77 \, \text{с}\]
\[t_{\text{полета}} = 2 \cdot 1,77 \approx 3,54 \, \text{с}\]
\[h = 17,32 \cdot 1,77 - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (1,77)^2 \approx 31,18 \, \text{м}\]

Теперь давайте вычислим потенциальную и кинетическую энергии мяча.

Потенциальная энергия мяча:
\[P = m \cdot g \cdot h\]

Кинетическая энергия мяча:
\[К = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Подставим значения:
\[P = 0,3 \cdot 9,8 \cdot 31,18 \approx 91,195 \, \text{Дж}\]
\[К = \frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot 10^2 \approx 15 \, \text{Дж}\]

Итак, полная механическая энергия мяча в наивысшей точке его траектории равна сумме потенциальной и кинетической энергии:
\[E_{\text{полн}} = P + К \approx 91,195 + 15 \approx 106,195 \, \text{Дж}\]

Таким образом, полная механическая энергия мяча в наивысшей точке его траектории составляет приблизительно 106,195 Дж.