Какова площадь закрашенной фигуры прямоугольника АВСD, если O является серединой АС, а стороны прямоугольника равны

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нам нужно разделить прямоугольник на две фигуры (прямоугольники и треугольник), а затем найти их площади и сложить.

Дано, что стороны прямоугольника АВСD равны 16 см и 10 см. Также, точка O является серединой стороны AC.

Чтобы увидеть более ясную картину, давайте нарисуем прямоугольник:

\[AB\]
\[---\]
\[| \]
\[--O--\]
\[| \]
\[DC\]

Мы видим, что сторона AD равна стороне CD, т.к. это прямоугольник. Таким образом, AD равна 16 см, а CD равна 10 см.

Также, медиана AC, проходящая через точку O, разделяет прямоугольник на два равных прямоугольника и образует два треугольника. Давайте обозначим ими:

Прямоугольник 1: ABOD
Прямоугольник 2: ODCB
Треугольник 1: AOB
Треугольник 2: COD

Теперь, чтобы найти площадь закрашенной фигуры, мы должны сложить площади этих двух фигур.

Начнем с прямоугольника 1. Мы уже знаем, что одна его сторона равна 16 см, а другая - AD, тоже равна 16 см. Поэтому площадь прямоугольника 1 будет равна произведению длины одной его стороны на длину другой стороны. В нашем случае это будет:

Площадь прямоугольника 1 = 16 см * 16 см

Теперь давайте рассмотрим прямоугольник 2. Мы уже знаем, что одна его сторона равна 10 см, а другая - DC, тоже равна 10 см. Поэтому площадь прямоугольника 2 будет равна произведению длины одной его стороны на длину другой стороны. В нашем случае это будет:

Площадь прямоугольника 2 = 10 см * 10 см

Далее, чтобы найти площадь треугольника 1 (AOB), нам нужно знать его высоту и основание. Так как O является серединой стороны AC, то основание треугольника 1 равно 16 см (половина стороны AB). А высоту можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOB.

С точки зрения прямоугольного треугольника AOB, мы видим, что сторона AO (катет, параллельный БО) равна половине стороны прямоугольника AB, то есть 8 см. А сторона BO (катет, перпендикулярный AO) равна половине стороны прямоугольника AD, то есть 8 см. Теперь мы можем применить теорему Пифагора:

\(AO^2 + BO^2 = AB^2\)
\(8^2 + 8^2 = AB^2\)
\(64 + 64 = AB^2\)
\(128 = AB^2\)
\(AB = \sqrt{128}\)
\(AB = 8\sqrt{2}\) см

Таким образом, мы нашли основание треугольника 1 (AOB) и оно равно \(8\sqrt{2}\) см.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника 1 (AOB), мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника 1 = \(\frac{{\text{основание} \times \text{высота}}}{2}\)
= \(\frac{{8\sqrt{2} \times 8}}{2}\) см\(^2\)
= \(32\sqrt{2}\) см\(^2\)

Наконец, чтобы найти площадь треугольника 2 (COD), мы можем использовать ту же самую формулу для площади треугольника, так как треугольники 1 и 2 равны:

Площадь треугольника 2 = Площадь треугольника 1
= \(32\sqrt{2}\) см\(^2\)

Теперь, чтобы найти площадь закрашенной фигуры, мы просто складываем площади прямоугольников 1 и 2, и площади треугольников 1 и 2:

Площадь закрашенной фигуры = Площадь прямоугольника 1 +
Площадь прямоугольника 2 +
Площадь треугольника 1 +
Площадь треугольника 2
= \(16см \times 16см + 10см \times 10см + 32\sqrt{2}\) см\(^2\)

Теперь, чтобы упростить ответ, нам нужно вычислить значения в данном выражении:

\(16см \times 16см = 256см^2\)
\(10см \times 10см = 100см^2\)

Таким образом, окончательный ответ будет:

Площадь закрашенной фигуры = \(256см^2 + 100см^2 + 32\sqrt{2}\) см\(^2\)

Поэтому, площадь закрашенной фигуры равна \(356см^2 + 32\sqrt{2}\) см\(^2\)