Какова площадь треугольника, у которого стороны проходят через прямые с уравнениями x+5y-7=0, 3x-2y-4=0 и 7x + y

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться методом нахождения площади треугольника через координаты его вершин. Вначале нам необходимо найти координаты вершин треугольника.

1. Уравнение прямой \(x+5y-7=0\) можно представить в виде \(y=\frac{{7-x}}{5}\). Заменив \(x=0\), мы получим координату точки пересечения этой прямой с осью \(y\), которая будет являться одной из вершин треугольника:
\[y=\frac{{7-0}}{5}=\frac{7}{5}\]
Координаты этой вершины равны (0, 7/5).

2. Аналогично, уравнение прямой \(3x-2y-4=0\) представим в виде \(y=\frac{{3x-4}}{2}\). Заменив \(x=0\), получим другую вершину треугольника:
\[y=\frac{{3\cdot0-4}}{2}=-2\]
Координаты этой вершины равны (0, -2).

3. Найдем последнюю вершину треугольника, используя уравнение \(7x+y+19=0\), представленное в виде \(y=-7x-19\). Найдем значение \(x\) путем решения уравнения \(0=-7x-19\):
\[x=\frac{{-19}}{7}\]
Затем подставим значение \(x\) в уравнение, чтобы найти значение \(y\):
\[y=-7\cdot\frac{{-19}}{7}-19=\frac{{3}}{7}\]
Координаты последней вершины равны \(\left(\frac{{-19}}{7}, \frac{{3}}{7}\right)\).

Итак, теперь у нас есть координаты трех вершин треугольника: (0, 7/5), (0, -2) и \(\left(\frac{{-19}}{7}, \frac{{3}}{7}\right)\). Мы можем использовать эти координаты, чтобы найти площадь треугольника.

Так как у нас есть координаты вершин треугольника, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника. Для этого нужно применить формулу Герона или формулу площади через полупериметр треугольника.

Но, чтобы упростить задачу, мы воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через координаты его вершин:

\[S = \frac{1}{2} \left| (x_1 \cdot (y_2 - y_3) + x_2 \cdot (y_3 - y_1) + x_3 \cdot (y_1 - y_2)) \right|\]

Подставим значения координат вершин треугольника в эту формулу:

\[S = \frac{1}{2} \left| (0 \cdot \left(\frac{3}{7}+\frac{14}{5}\right) + 0 \cdot \left(\frac{7}{5}+2\right) + \left(\frac{-19}{7}\right) \cdot \left(2-\frac{3}{7}\right)) \right|\]

\[S = \frac{1}{2} \left| \left(\frac{-38}{7}\right) \right|\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{38}{7}\]

\[S = \frac{19}{7}\]

Таким образом, площадь данного треугольника составляет \(\frac{19}{7}\) квадратных единиц.