Какова площадь треугольника с одной стороной, равной 8 дм, и высотой, опущенной на эту сторону?

Конечно! Для решения этой задачи воспользуемся формулой для расчета площади треугольника. Но перед этим нам необходимо найти длину высоты треугольника, опущенной на сторону длиной 8 дм.

Высота, опущенная на сторону треугольника, образует прямой угол с этой стороной и разбивает его на две равные отрезки. Пусть один из таких отрезков равен \(h\) (высота треугольника), а другой отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой этой стороны, равен \(a/2\), где \(a\) - длина этой стороны. Мы знаем, что \(a = 8\) дм, поэтому \(a/2 = 8/2 = 4\) дм.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины высоты треугольника. В треугольнике с гипотенузой \(a\) (в нашем случае это сторона длиной 8 дм) и катетами \(h\) и \(a/2\) (где \(h\) - высота треугольника и \(a/2\) - половина основания треугольника), теорема Пифагора гласит:

\[a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Подставим известные значения:

\[(8)^2 = h^2 + (4)^2\]

Решим это уравнение для \(h\):

\[64 = h^2 + 16\]

\[h^2 = 64 - 16\]

\[h^2 = 48\]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти \(h\):

\[h = \sqrt{48}\]
\[h \approx 6.93\]

Таким образом, длина высоты треугольника, опущенной на сторону длиной 8 дм, составляет примерно 6.93 дм.

Теперь мы можем использовать формулу для расчета площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times h\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6.93\]
\[S \approx 27.72\]

Таким образом, площадь треугольника с одной стороной, равной 8 дм, и высотой, опущенной на эту сторону, примерно равна 27.72 квадратным дециметрам.