Какова площадь треугольника с одной из сторон, равной 6 дм, а прилегающими к ней углами – 30° и 45°?

Для решения этой задачи мы используем формулу площади треугольника, которая выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C),\]

где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(C\) - угол между этими сторонами.

У нас дан треугольник с одной из сторон, равной 6 дм (или 60 см). Пусть эта сторона будет \(a\).

Также известно, что углы прилегающие к этой стороне равны 30° и 45°. Обозначим их как \(B\) и \(A\) соответственно.

Итак, нам нужно найти площадь треугольника \(S\).

Приступим к решению:

Шаг 1: Найдем длину второй стороны треугольника.

Мы знаем, что угол между \(a\) и \(b\) равен 30°. Также известно, что синус угла 30° равен 0.5.

Подставляем известные данные в формулу площади треугольника:

\[\sin(30°) = \frac{b}{6},\]

\[0.5 = \frac{b}{6},\]

Чтобы найти \(b\), умножим обе части равенства на 6:

\[6 \cdot 0.5 = b,\]

\[b = 3.\]

Таким образом, длина второй стороны треугольника равна 3 дм (или 30 см).

Шаг 2: Найдем площадь треугольника \(S\).

Так как у нас заданы длины двух сторон треугольника и значение угла между ними, мы можем просто подставить эти значения в формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \sin(45°),\]

Поскольку синус 45° равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем продолжить вычисления:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2},\]

Упрощаем выражение:

\[S = 9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2},\]

\[S = \frac{9\sqrt{2}}{2}.\]

Итак, площадь треугольника с одной из сторон равной 6 дм, а прилегающими к ней углами 30° и 45° равна \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) квадратных дециметров.

Пошаговое решение позволяет нам лучше понять процесс решения и получить более полное объяснение.