Какова площадь треугольника с двумя сторонами длиной 1 и √13, если медиана третьей стороны равна?

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним формулу для площади треугольника. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины его сторон и \(p\) - полупериметр, равный \(\frac{(a + b + c)}{2}\).

В данной задаче известны две стороны треугольника: одна длиной 1 (обозначим её \(a = 1\)), а другая длиной \(\sqrt{13}\) (обозначим её \(b = \sqrt{13}\)). Мы также знаем, что медиана третьей стороны равна, то есть \(c = c"\), где \(c"\) - медиана.

Давайте найдем медиану третьей стороны. Медиана треугольника делит соответствующую ей сторону пополам. Поэтому медиана, проходящая через точку деления \(M\), будет равна половине суммы длин двух оставшихся сторон (в данном случае \(a\) и \(b\)):

\(c" = \frac{(a + b)}{2}\)

Подставляя значения \(a = 1\) и \(b = \sqrt{13}\), мы получаем:

\(c" = \frac{(1 + \sqrt{13})}{2}\)

Теперь мы можем найти полупериметр \(p\):

\(p = \frac{(a + b + c")}{2}\)

Подставляя значения \(a = 1\), \(b = \sqrt{13}\) и \(c" = \frac{(1 + \sqrt{13})}{2}\), мы получаем:

\(p = \frac{(1 + \sqrt{13} + \frac{(1 + \sqrt{13})}{2})}{2}\)

Выполняя вычисления, мы получаем:

\(p = \frac{(3 + \sqrt{13})}{2}\)

Теперь мы можем найти площадь \(S\):

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c")}\]

Подставляя значения \(p = \frac{(3 + \sqrt{13})}{2}\), \(a = 1\), \(b = \sqrt{13}\) и \(c" = \frac{(1 + \sqrt{13})}{2}\), мы получаем:

\[S = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{13})}{2}(\frac{(3 + \sqrt{13})}{2} - 1)(\frac{(3 + \sqrt{13})}{2} - \sqrt{13})(\frac{(3 + \sqrt{13})}{2} - \frac{(1 + \sqrt{13})}{2})}\]

\[S = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{13})}{2}(\frac{(1 - \sqrt{13})}{2})(\frac{(-1 - \sqrt{13})}{2})(\frac{(1 - \sqrt{13})}{2})}\]

\[S = \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{13})(1 - \sqrt{13})(-1 - \sqrt{13})(1 - \sqrt{13})}{16}}\]

\[S = \sqrt{\frac{-27 -22\sqrt{13} + 26}{16}}\]

\[S = \sqrt{\frac{-1 - 22\sqrt{13}}{16}}\]

Таким образом, площадь треугольника с двумя сторонами длиной 1 и \(\sqrt{13}\), если медиана третьей стороны равна, равна \(\sqrt{\frac{-1 - 22\sqrt{13}}{16}}\).