Какова площадь треугольника OCD, если площадь треугольника AMD составляет 24 кв. см и AM равно 10 см, а DC равна 2,5?

Для начала давайте взглянем на рисунок, чтобы лучше представить себе данную геометрическую задачу:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & A & & \\
& & & \uparrow & & \\
& & & M & & \\
& &\nearrow & \uparrow & \nwarrow & \\
& & & O & & D \\
\end{array}
\]

Задача состоит в нахождении площади треугольника OCD. Мы знаем, что площадь треугольника AMD составляет 24 кв. см, а сторона AM равна 10 см. Также задано значение стороны DC, которая равна 2,5.

Перед тем, как перейти к решению, нам понадобится знание формулы для площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, зная длины двух его сторон и угол между ними. Однако в данной задаче нам дана площадь треугольника AMD, а не его угол.

Одним из способов решения данной задачи является использование формулы для площади треугольника, которая зависит от длин трех его сторон. В нашем случае, мы знаем длину стороны AM (10 см), а также длину стороны DC (2,5 см).

Давайте обозначим третью сторону треугольника OCD как OC. Заметим, что стороны AM и DC являются параллельными отрезками, поэтому треугольники AMD и OCD подобны.

Теперь мы можем использовать пропорциональность сторон, чтобы найти длину стороны OC. Поскольку стороны AM и DC имеют отношение 4:1 (10 см : 2,5 см), стороны AC и CD также будут иметь это же отношение.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{{AM}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{CD}}
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
\frac{{10}}{{2,5}} = \frac{{AC}}{{2,5}}
\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[
\frac{{10}}{{2,5}} = \frac{{AC}}{{2,5}} \Rightarrow \frac{{4}}{{1}} = \frac{{AC}}{{2,5}}
\]

Теперь мы можем найти длину стороны AC:

\[
AC = \frac{{4}}{{1}} \times 2,5 = 10 \text{{ см}}
\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника OCD. Мы можем использовать формулу для площади треугольника, чтобы найти площадь треугольника OCD.

Формула для площади треугольника, использующая длины всех его сторон, называется формулой Герона:

\[
S = \sqrt{{p(p - a)(p - b)(p - c)}}
\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины его сторон.

Первым шагом мы найдем полупериметр треугольника OCD:

\[
p = \frac{{OA + OC + CD}}{2}
\]
\[
p = \frac{{10 + 10 + 2,5}}{2}
\]
\[
p = \frac{{22,5}}{2}
\]
\[
p = 11,25 \text{{ см}}
\]

Теперь мы можем найти площадь треугольника OCD:

\[
S = \sqrt{{11,25(11,25 - 10)(11,25 - 10)(11,25 - 2,5)}}
\]
\[
S = \sqrt{{11,25 \times 1,25 \times 1,25 \times 8,75}}
\]
\[
S = \sqrt{{139,6484}}
\]
\[
S \approx 11,8 \text{{ кв. см}}
\]

Таким образом, площадь треугольника OCD составляет около 11,8 кв. см.