Какова площадь треугольника MNK, в котором угол M равен 45°, NQ является высотой и MQ равна 3 мм, а QK равна

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Дано: треугольник MNK, угол M равен 45°, NQ является высотой, MQ равна 3 мм, и QK неизвестна.

Мы знаем, что высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена, и что она делит эту сторону на две равные части. То есть, NQ равно NK.

Понимая это, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник MNQ, где гипотенуза MN соответствует стороне, к которой проведена высота NQ. Зная, что угол M равен 45° и сторона MQ равна 3 мм, мы можем использовать это для нахождения значений сторон треугольника MNQ.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, это означает, что \(MN^2 = MQ^2 + NQ^2\).

Подставляя известные значения, получаем: \(MN^2 = (3 \, \text{мм})^2 + NQ^2\).

Теперь нам нужно найти значение NQ. Мы знаем, что высота NQ делит сторону MK на две равные части. Это означает, что треугольник MKQ является прямоугольным треугольником, и угол M равен 90°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол N равен 180° - 90° - 45°, то есть 45°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник MKQ с углом N равным 45° и гипотенузой MK. Мы знаем, что сторона MQ равна 3 мм. Поэтому мы можем использовать тангенс угла N, чтобы найти значение QK.

Тангенс угла N вычисляется как отношение противоположного катета (QK) к прилежащему катету (MQ). То есть, \(\tan N = \frac{QK}{MQ}\).

Подставляя известные значения, получаем: \(\tan 45° = \frac{QK}{3 \, \text{мм}}\).

Так как тангенс 45° равен 1, у нас получается уравнение: \(1 = \frac{QK}{3 \, \text{мм}}\).

Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение QK. Умножив обе стороны на 3 мм, получаем: \(QK = 3 \, \text{мм}\).

Теперь у нас есть значение QK. Мы можем использовать его, чтобы найти площадь треугольника MNK.

Площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины основания и высоты. В нашем случае, основание треугольника MNK - это сторона MK, которая равна 3 мм, и высота - это сторона NQ, которая также равна 3 мм.

Таким образом, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).

Подставляя известные значения, получаем: \(S = \frac{1}{2} \times 3 \, \text{мм} \times 3 \, \text{мм}\).

Вычисляя, получаем: \(S = \frac{1}{2} \times 9 \, \text{мм}^2\).

Таким образом, площадь треугольника MNK равна \(4.5 \, \text{мм}^2\).