Какова площадь треугольника, если длина одной из сторон равна 15 см, а синус острого угла, образованного этой стороной

Чтобы найти площадь треугольника, имея информацию о длине одной из его сторон и синусе острого угла, образованного этой стороной и гипотенузой, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины двух сторон треугольника, а \(C\) - угол между этими сторонами.

В данной задаче у нас известны длина одной из сторон треугольника (\(a = 15\) см) и значение синуса угла (\(\sin(C) = 0,8\)). Мы должны найти площадь треугольника.

Так как нам известна только одна сторона, нам нужно найти вторую сторону треугольника. Давайте воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

В данном случае, у нас есть гипотенуза и синус угла между этой гипотенузой и одним из катетов. Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin(C) = \frac{a}{c}\]

Подставим это в формулу Пифагора:

\[\left(\frac{a}{\sin(C)}\right)^2 = a^2 + b^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{a^2}{\sin^2(C)} = a^2 + b^2\]

Перенесем \(a^2\) на другую сторону:

\[b^2 = \frac{a^2}{\sin^2(C)} - a^2\]

Теперь мы можем найти вторую сторону \(b\):

\[b = \sqrt{\frac{a^2}{\sin^2(C)} - a^2}\]

Подставим известные значения:

\[b = \sqrt{\frac{15^2}{0,8^2} - 15^2}\]

Вычислим это:

\[b \approx 7,07\]

Теперь у нас есть значения длин двух сторон треугольника (\(a = 15\) см и \(b \approx 7,07\) см), а также значение синуса угла (\(\sin(C) = 0,8\)). Мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника.

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 7,07 \cdot 0,8\]

Вычислим это:

\[S \approx 42,21\]

Таким образом, площадь треугольника составляет примерно 42,21 квадратных сантиметра.