Какова площадь треугольника BMK, если известно, что треугольники ABC и BMK имеют одинаковые высоты: AH=BO, BC=8

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать понятие "одинаковых высот". По условию задачи, высота треугольника ABC, обозначенная как AH, равна высоте треугольника BMK, обозначенной как BO.

Сначала найдем высоту треугольника ABC, используя информацию, что площадь треугольника ABC равна 25. Формула для нахождения площади треугольника по высоте и основанию:

\[S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(h\) - высота треугольника, \(a\) - основание треугольника.

Подставляем данные из условия:

\[25 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot 8\]

Теперь решим это уравнение относительно \(h\):

\[25 = 4h\]

\[h = \frac{25}{4}\]

Итак, мы нашли, что высота треугольника ABC равна \(\frac{25}{4}\).

Теперь, используя информацию, что MK = 5 и BO = \(\frac{25}{4}\), мы можем найти основание треугольника BMK. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае основание треугольника BMK является гипотенузой, а MK и BO - катетами:

\[BMK^2 = MK^2 + BO^2\]

\[BMK^2 = 5^2 + \left(\frac{25}{4}\right)^2\]

\[BMK^2 = 25 + \frac{625}{16}\]

\[BMK^2 = \frac{400 + 625}{16}\]

\[BMK^2 = \frac{1025}{16}\]

Теперь найдем площадь треугольника BMK, используя формулу для площади треугольника по высоте и основанию:

\[S_{BMK} = \frac{1}{2} \cdot h_{BMK} \cdot a_{BMK}\]

Где \(S_{BMK}\) - площадь треугольника BMK, \(h_{BMK}\) - высота треугольника BMK, \(a_{BMK}\) - основание треугольника BMK.

Подставляем найденные значения:

\[S_{BMK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{4} \cdot \sqrt{\frac{1025}{16}}\]

Упрощаем выражение:

\[S_{BMK} = \frac{25}{8} \cdot \frac{\sqrt{1025}}{\sqrt{16}}\]

\[S_{BMK} = \frac{25}{8} \cdot \frac{\sqrt{1025}}{4}\]

Делим числитель и знаменатель на 4:

\[S_{BMK} = \frac{25 \cdot \sqrt{1025}}{32}\]

Таким образом, площадь треугольника BMK равна \(\frac{25 \cdot \sqrt{1025}}{32}\).